专题17 复数考纲解读三年高考分析1.复数的概念(1)理解复数的基本概念.(2)理解复数相等的充要条件.(3)了解复数的代数表示法及其几何意义.2.复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算.(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数的运算是考查的重点，解题时常用到复数的运算法则、复数的模的计算、共轭复数的概念，考查学生的数学数学运算能力，题型以选择题，较小难度.主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1．【2019年新课标3理科02】若z（1+i）＝2i，则z＝（）A ．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝1+i．故选：D．2．【2019年全国新课标2理科02】设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．3．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z＝x+yi，∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，∴|z﹣i|，∴x2+（y﹣1）2＝1，故选：C．4．【2019年北京理科01】已知复数z＝2+i，则z•（）A．B．C．3 D．5【解答】解：∵z＝2+i，∴z•．故选：D．5．【2018年新课标1理科01】设z2i，则|z|＝（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．6．【2018年新课标2理科01】（）A．i B．C．D．【解答】解：．故选：D．7．【2018年新课标3理科02】（1+i）（2﹣i）＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i．故选：D．8．【2018年浙江04】复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：化简可得z1+i，∴z的共轭复数1﹣i故选：B．9．【2018年北京理科02】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数，共轭复数对应点的坐标（，）在第四象限．故选：D．10．【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1；p 4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z＝i满足z2＝﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1，故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R，则z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．11．【2017年新课标2理科01】（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：2﹣i，故选：D．12．【2017年新课标3理科02】设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|．故选：C．13．【2017年北京理科02】若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．14．【2019年天津理科09】i是虚数单位，则||的值为．【解答】解：由题意，可知：2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|．故答案为：．15．【2019年江苏02】已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．16．【2019年浙江11】复数z（i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：∵z．∴|z|．故答案为：．17．【2018年江苏02】若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z，∴z的实部为2．故答案为：2．18．【2018年上海05】已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝．【解答】解：由（1+i）z＝1﹣7i，得，则|z|．故答案为：5．19．【2018年天津理科09】i是虚数单位，复数．【解答】解：4﹣i，故答案为：4﹣i20．【2017年江苏02】已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【解答】解：复数z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|．故答案为：．21．【2017年浙江12】已知a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），则a2+b2＝，ab＝．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），∴3+4i＝a2﹣b2+2abi，∴3＝a2﹣b2，2ab＝4，解得ab＝2，，．则a2+b2＝5，故答案为：5，2．22．【2017年上海05】已知复数z满足z0，则|z|＝．【解答】解：由z0，得z 2＝﹣3，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z 2＝﹣3，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝﹣3， 即，解得：．∴． 则|z |．故答案为：．23．【2017年天津理科09】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若为实数，则a 的值为 ．【解答】解：a ∈R ，i 为虚数单位，i由为实数，可得0，解得a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．1．【吉林省舒兰一中、吉化一中、九台一中、榆树实验中学等八校联考】若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ）A.45i -B.45-C.45D.45i 【答案】C 【解析】 由题意得，()()()534534z 34343455i i i i i +===+--+ 所以z 的虚部为45. 故本题答案为452．【2019年9月广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】设复数z 满足(3)3i z i +=-，则||z =（）． A ．12B ．1C 2D ．2【答案】B 【解析】由题意得：()()()23386433331055i i i z i i i i ---====-++-2243155z ⎛⎫⎛⎫∴=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够利用复数的除法运算整理出复数.3．【2019年9月广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4【答案】A 【解析】依题意，复数1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，故选A.4．【湖南省怀化市2018-2019学年高三下学期期末】已知i 是虚数单位，则复数122ii+-等于（ ） A ．i B ．i -C ．5iD ．45i + 【答案】A 【解析】 复数122ii +-化简可得 122ii+- ()()()()122+=22+i i i i +-22+52=5i i + =i所以选A5．【安徽省合肥一中2019-2020学年9月高三阶段性检测】复数z 满足()1i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部与虚部之和为（ ） A ．1 B ．0C ．12i- D ．12i+ 【答案】B 【解析】 因为()1i z i += 所以111122z i i ==-+ 所以z 的实部与虚部之和为11022-=，故选B 项. 6．【湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考】已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-i B ．-1+2i C ．-1-2i D ．-2+3i【答案】A 【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A.7．【河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试】设复数1z 在复平面内对应的点为(,)x y ，1(12)z i z =+，若复数z 的实部为1，则（） A ．21x y += B ．21x y -=C ．21x y +=D ．21x y -=【答案】D 【解析】因为1z x yi =+，()()()()1222z i x yi x y x y i =++=-++，所以21x y -=.故选D . 8．【广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考】若复数z 满足()1i 13i z +=+，则复数z 的共轭复数的模为A ．1B 2C ．2D ．2【答案】B 【解析】由于213i =1+(3)2+=，则22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 所以复数z 的共轭复数1z i =+，则22112z =+=故答案选B9．【广东省台山市华侨中学2020届高三级10月模考】设i 为虚数单位,m R ∈,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】复数()1m m i -+是纯虚数,则0m =或1m =,所以“复数()1m m i -+是纯虚数”不是“1m =”的充分条件；当1m =时,复数为i ,是纯虚数,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的必要条件, 所以“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的必要不充分条件． 故选B ．10．【2019年河南省八市重点高中联盟高三9月“领军考试”】已知复数z 的共轭复数为z ，若11z z i-=+，则z 在复平面内对应的点为（ ） A ．(2,1)-- B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)【答案】A 【解析】设R z x yi x y =+∈（，），由11z z i-=+，得()()11x yi i x yi -+=+-, 即()()1x y x y i x yi ++-=-+，则1x y x x y y+=-⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-. ∴z 在复平面内对应的点为()2,1--， 故选：A11．【2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考】复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ） A ．7 B ．49 C ．9 D ．81【答案】B 【解析】设z x yi =+，则()()()()223434342z i x y i x y ++=+++=+++=，()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离的平方，原点到圆()()2230405--+--=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选：B.12．【2019年广东省珠海市高三9月月考】已知i 为虚数单位，若复数z 满足31iz i-=+,则z =（ ） A ．12i + B ．3i +C 5D 10【答案】C 【解析】()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-, 故5z =，选B.13．【2019年山东省济南市外国语学校高三9月阶段测试】复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1B ．1C ．i -D ．i【答案】B 【解析】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B.14．【山西省大同市2020届高三开学学情调研测试】设x ，y R ∈，i 为虚数单位，且3412ii Z+=+，则Z x yi =+的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由3412ii Z+=+可得，3412)i i x yi +=+⋅+（）（，即342(2)i x y x y i +=-++， 23,24x y x y ∴-=+=，112,55x y ∴==-，故Z x yi =+的共轭复数为11255i +，故Z x yi =+的共轭复数在复平面内对应的点为112(,)55，故选：A 。