椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。

知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。

e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）,，；知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系，，，，，，长轴长=，短轴长=，，注意：椭圆，（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a ＞b ＞0和，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

二、考点分析考点一：椭圆的定义 【例1】方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 。

【例2】已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为（ ）A 圆B 椭圆C 线段D 直线【变式训练】已知椭圆=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 。

考点二：求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为 。

【例4】ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．22169x y ＋【例5】求以椭圆229545x y +=的焦点为焦点，且经过点M 的椭圆的标准方程．【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 。

2、焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为。

3、已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；4、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．考点三：利用标准方程确定参数【例6】若方程25x k -+23y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .【例7】椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 。

【变式训练】1、椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

2、椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

考点四：离心率的有关问题 一、求离心率1、用定义（求出a,c 或找到c/a ）求离心率（1）已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C经过点41(,)33P .则椭圆C 的离心率 。

（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）（3）椭圆（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2。

若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.（41，则该椭圆的离心率为 。

2、根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，解出e 。

2220()0n c cma nac pc m p m a a++==>+⋅+= （1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D.（2）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为12F F 2222:1(0)x y E a b a b+=>>P 32a x =∆21F PF 30E ()A 12()B 23()C 34()D 4522221x y a b+=54535251F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.（3）设椭圆的两个焦点分别为，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 。

二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式） 1、直接根据题意建立,a c 不等关系求解.（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是 。

（2）已知21,F F 为椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦点，B 为椭圆短轴上的端点，2121212BF BF F F ⋅≥，求椭圆离心率的取值范围 。

2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立,a c 不等关系求解设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 。

3、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）（1）椭圆22221x y a b+=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则椭圆离心率的取值范围为 。

（2）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围 。

（3）椭圆）（012222>>=+b a b y a x 和圆2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c b y x （其中c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围 。

考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例14】已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．【变式训练】1、若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.2、已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C.3 D.33课后作业： 一、选择题1已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=25，则点P 的轨迹为( )A 圆B 椭圆C 线段D 直线3已知方程22111x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( )A -1<k<1B k>0C k≥0D k>1或k<-1 17、椭圆32x ＋22y =1与椭圆22x ＋32y =λ(λ>0)有（ ）(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对18、椭圆192522=+y x 与125922=-+-λλy x （0<k<9）的关系为（ ）(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴 二、填空题2、椭圆221169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则∆CDF 1的周长为______4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)5、若⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则⊿ABC 的重心G 的轨迹方程为______________________6.椭圆22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为____ _____7、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的的离心率为____ ___ 椭圆方程为 ___________________.8已知椭圆的方程为22143x y +=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=︒,求12PF F ∆的面积9.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是11．已知椭圆)5(125222>=+a y ax 的两个焦点为1F 、2F ，且821=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长 。