相应的频谱为：
A ikx0 sin 1 i 2 x0 f0 sin 1 i 2 x0 f0 sin U 0 f x , f y U 0 x0 , y0 e e e 2 2 2
A 1 1 sin sin sin f x , f y f x f 0 , f y f f , f x 0 y 2 2 2
故能通过系统的x方向空间频率范围应满足：
l l l l di f x fx 4 2 4 d i 2 d i
同样能通过系统的y方向空间频率范围为：
l 4 di fy l 2 di
解： (1) 倾斜单色下面光波入射，在物平面上产生的入射
光场为 Aeikx0 sin
像面复振幅为
U i xi , yi
1
U f , f
i x y
A i 4 fi e 2
2 x l
e i 2 f0 xi 1 2
像面光强分布为
I xi , yi U i xi , yi
2
A2 4
5 cos 2 f x 0 i 4
2 25
解：由v
c


c

2

c

v








根据已知条件,可得
3 108 2 108 14 14 4 v 4.74 10 , 4.74 10 1.5 10 Hz 9 632.8 632.8 10 c
则物平面的透射光场为：
U 0 x0 , y0 Aeikx0 sin t x0 , y0 A ikx0 sin e 2 A ikx0 sin 1 cos 2f 0 x0 e 2 1 i 2x0 f 0 sin 1 i 2x0 f 0 sin e e 2 2
sin l f c 2 di l sin l f f 0 0 l sin l 2 d 2 di i f0 2 di 2 di max l arcsin 2d i l arcsin 4 f
(2) 非相干照明时，根据截止频率的定义，有
D fc f1 , D di f1 104 20 1000 2cm di
3.3 一衍射受限的相干成像系统出瞳是边长为l的正方形。若在光瞳中心嵌入一边 长为l/2的正方形不透明屏，试求出系统的相干传递函数和可通过系统的x和y方 向的空间频率范围。
（3）两个点物间的分辨率不同：非相干成像系统 可运用瑞利判据判别其分辨率，而对于相干系统， 能否分辨两个点源，则要考虑它们的位相关系。
（4）对锐边的响应不同：相干成像系统具有陡峭 的不连续性，且在截止频率确定的通频带内不衰减； 非相干成像系统在截止频率所确定的通频带内随空 间频率增大逐渐减小，降低了像的对比度。 （5）像强度的频谱不同。
解：按题意，由透镜定律有
1 1 1 f 10cm, 物距d0 20cm f d 0 di
解得像距：di 20cm
这里系统的截止频率应大于物函数的基频f1。于是 (1) 相干照明时，根据截止频率的定义，有
D fc f1 , D 2 di f1 2 104 20 1000 4cm 2 di
第三、四章作业答案
3.1 试阐述衍射受限的相干成像系统和非相干成像
系统的区别以及像差的影响。 衍射受限的相干成像系统与非相干成像系统的区别：
（1）衍射受限相干成像系统对复振幅变换而言是 线性不变系统，对光强度的变换则不是线性系统； 非相干成像系统对光强变换是线性不变的，而对复 振幅的变换则不是线性的。 （2）截止频率不同：相干系统截止频率是确定像 的复振幅的最高频率分量，而非相干系统截止频率 是对像强度的最高频率分量而言。非相干衍射受限 系统的OTF，其截止频率扩展到相干系统CTF的截 止频率的两倍处。
变化情况。
由相干时间或相干长度来表征。光源的时间相干性
取决于光源的频谱宽度或中心波长0和波长宽度 等。
[4-3] 什么叫光源的空间相干性？由什么物理量
来表征？与哪些因素有关？
答：空间相干性是指在波面上固定两空间点的位 相差随时间的变化情况。它描述在同一时刻波面
上两点之间光场的相干性。
由横向相干长度来表征。它与光源的线度以及光
对比两种情况下像面光强分布，可知： ＝0时像面光强有高频分量2f0, 而＝max没有这项； ＝0时像面光强具有较高的图象对比度。
3.5 如图，透镜口径D=25mm，焦距f=50mm，物距d0=150mm, 光阑离透镜距离l=100mm，d=8mm，求系统的截止频率。
解： 假设中心物点到透镜边缘方向与水平方向的夹角为1， 物点到光阑边缘方向与与水平方向的夹角为 2，则：
（3）当＝max，只有最高的那个频率分量不能通过系统， 所以系统的相干传递函数为
sin sin 1 , if f or f f0 x x Hc ( f x , f y ) sin 0, if f x f0
像面频谱为
Ui f x , f y A 1 sin sin f , f f f , f x y x 0 y 2 2
解：系统的光瞳函数为：
x y 2x 2 y P x, y rect ,等于光瞳函数，则 l l l l d f d f 2 d i f x 2 d i f y H c ( f x , f y ) P( d i f x , d i f y ) rect i x , i y rect , l l l l l l l l x 以及 x 系统光瞳函数在x方向通光范围为： 4 2 2 4
入射光倾斜入射使得物谱的 fx整体平移了sin/距离。所以 越大，移动的距离越大。
(2) 物的空间频谱仅包含 3个频谱分量，其中每一频谱分量
代表某特定方向的平面波，如果只让一个频谱分量通过系统， 像面是不会有强度变化的。欲使像面有强度变化，至少要有 两频谱分量通过系统。选择最低的两个频谱分量使其在系统 通频带内，角才能取尽量大的值。在相干照明的情况下：
sin 3 3 3 3 V = = 2 3 2 3
而＝0时像面光强分布为
A2 I xi , yi U i xi , yi 4 2 A2 A2 1 cos 2 f 0 xi 4 4
2
eikx0 sin 1 cos 2 f 0 x0
2
1 3 2 cos 2 f x cos 4 f x 0 i 0 i 2 2
tan 1 = D d0 2 25 2 1 150 12
tan 2
4 2 2 d0 l 150 100 25
d
tan 1 tan 2 即1 2 , 那么光阑为系统的孔径光阑
系统沿x方向的截止频率f x
cos


sin 2


tan 2

像差的影响： 对于相干成像系统，当光学成像系统存在像差时， 其相干传递函数等于它的光瞳函数乘以一相位因 子，不会改变系统对空间频率的振幅调制，所以 对成像系统的相干传递函数带宽没影响。而对空 间频率产生不同相位调制则会使得输出像产生不 均匀的空间相移，从而造成像失真。
对于非相干成像系统，像差的存在会使调制传递 函数下降，像面光强度分布的各空间频率分量的 对比度降低。而对于同样大小和形状的出射光瞳， 有像差和无像差系统的截至空间频率相同。
由于假定其光谱分布是矩形, 则
1 c c 1 c 相干长度 Lc c c 2 10 4 m
[4-2] 什么叫光源的时间相干性？由什么物理量
来表征？与哪些因素有关？ 答:光源的时间相干性是指在同一空间点处,在任意
相等的时间区间t内测得该点的位相差随时间的
源中心对两观测点的张角有关。
[4-4] 在杨氏干涉实验中，如果光源的宽度是光源 的极限宽度的1/3，试问干涉条纹的对比度是多少？
解：条纹对比度V sin

2bt ， 其中 = 。当光源宽度为 ls
极限宽度时， =1。因此当光源宽度为极限宽度的1/3时，
=1/3，于是相应的干涉条纹对比度