的变换称为旋转变换，其中点 O 称为旋转中心，角度 称为旋转角.
(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点 O 且逆时针旋转 角时，旋转变
换的矩阵为
cos sin
θ θ
－sin cos
θθ，像csions
θ θ
－sin cos
θθ这样的矩阵称为旋转变换
矩阵.
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矩阵10 k1(k∈R，k≠0)确定的变换为沿 x 轴方向平移|ky|个单位的切变变换； 而1k 10(k∈R，k≠0).确定的变换为沿 y 轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要 将二者混淆.
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如图 2-2-3(1)、(2)所示，已知正方形 ABCD 在变换 T 作用下变成平行四边形 A B C D ，试求变换 T 对应的矩阵 M.
直线 y＝x 上.
0 0
01对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于 y 轴的方向投影到
y 轴上.
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1 2 (2)－12
－12 1对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线 x＋y 2
＝0 的方向投影到直线 x＋y＝0 上.
1 1 2 2 1 1对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线 y＝x 的方向 2 2
31－21＝11，10
31－－21＝－－51.
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从而矩形 ABCD 在矩阵10 31作用下变成了平行四边形 A B C D .这里 A (－2， －1)、B (4，1)、C (1，1)、D′(－5，－1)，即原图形上任意一点(x，y)沿 x 轴方 向平移|3y|个单位，而纵坐标不变.如图所示，线段 EF 为该切变变换下的不变线段.
34 页习题 2.2 第 8 题)已知曲线 xy＝1，将它绕坐标原点 顺时针旋转 90°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？
已知椭圆 ：x2＋y12＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转 90°后 4
所得到的曲线，画出示意图.
【命题意图】 本题主要考查旋转变换 ，同时考查了函数方程思想及运算 求解能力.
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旋转变换及其应用 已知曲线 xy＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转 90°后会得到什么曲
线？曲线方程是什么？
【精彩点拨】 根据题设条件找到旋转角 ，求出旋转变换矩阵，从而求出 曲线方程，判断曲线类型.
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【自主解答】 将曲线 xy＝1 绕坐标原点顺时针旋转 90°，相当于逆时针旋
22（x
＋y
）＝1.
x2 y2 即 2 － 2 ＝1，
x2 y2 因此曲线 xy＝1，在矩阵的作用下变成曲线 2 － 2 ＝1.
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投影变换及其应用
设一个投影变换把直角坐标系 xOy 内的任意一点沿平行于直线 y＝ x 的方向投影到 x 轴上.试求：
(1)点 A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点 A 的坐标； (2)这个投影变换对应的变换矩阵.
2.求解该类问题常用数形结合思想求解.
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(1)矩阵10 00，10 10，11 00，00 01对应的变换的几何意义是什么？
1 2 (2)矩阵－12
－12
1 2
1，1
2 2
1 2 1对应的变换的几何意义是什么？ 2
转 270°，
故旋转变换矩阵为
M＝csions
270° 270°
－sin cos
227700°°＝－01
0
1

，

设 P(x0，y0)为曲线 xy＝1 上任意一点，在矩阵 M 作用下
对应点为 P (x0′，y0′)则xy00′′＝－01 0 1 yx00＝－yx00，
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
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若将本例中“旋转 90°”变成“旋转 45°”情况如何？
【解】 由题意得旋转变换矩阵为
2 2
M＝csions
（－45°） （－45°）
－sin cos
（（－－4455°°） ）＝－
2
2 2
2 . 2
2
在曲线 xy＝1 上任取一点 P(x，y)，设其在此旋转变换作用下得到点 P (x ，y
′)，则
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2
2

－
2 2
2
22xy＝xy 2
，即xy′＝＝22－（2x2＋（yx）－，y），所以yx＝＝
2 2 （x 2 2 （x
－y ＋y
）， ）.
将其代入
xy＝1
中得：
22（x
－y
）·

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【解】 (1)10 00对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于 x 轴的
方向投影到 x 轴上.
1 0
10对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线 x＋y＝0 的方
向投影到 x 轴上.
1 1
00对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于 x 轴的方向投影到
投影到直线 y＝x 上.
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切变变换及其应用
如图 2-2-2 所示，已知矩形 ABCD，试求 在矩阵10 31对应的变换作用下的图形，并指出矩形区 域 ABCD 在变换过程中的不变线段.
【导学号：30650017】
图 2-2-2
【精彩点拨】 由于本变换对应的是线性变换 ，只需研究矩形的端点 的变
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(3)旋转变换的特点： ①旋转变换只改变几何图形的相对位置 ，不会改变几何图形的形状. ②旋转中心在旋转过程中 保持不变. ③图形的旋转由 旋转中心和 旋转的角度所决定. ④绕定点旋转 180°的变换相当于关于定点作中心反射变换.
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2.投影变换 (1)定义：将平面图形投影到某条直线 (或点)的变换，称为投影变换. (2)投影变换矩阵：像10 00，11 00这类将平面内图形投影到 某条直线 (或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵. (3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换 (1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和 线间夹角可以改变，且点 沿坐标轴 运动的变换叫做切变变换.
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(2)切变变换矩阵 一般地，在平面直角坐标系 xOy 内，将任一点 P(x，y)沿着 x 轴(或 y 轴)方 向平移|ky|(或 | kx|)个单位变成点 P (x ，y′)，(其中 k 是非零常数)，对应的变换 矩阵10 k1或1k 10(k∈R，k≠0)，称为切变变换矩阵.
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1
【解】 设椭圆与坐标轴的交点分别为 A(－1，0)，B0，－2，C(1，0)，
1 D0，2(如图).
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(3)切变变换的矩阵表示及其几何意义 ①矩阵10 k1(k∈R，k≠0)把平面上的点 P(x，y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位： 当 ky＞0 时，沿 x轴正方向 移动；当 ky＜0 时，沿 x轴负方向 移动；当 ky＝0 时，位置不变 .在此变换作用下，x 轴上的点为不动点. ②矩阵1k 10(k∈R，k≠0)把平面上的点 P(x，y)沿 y 轴方向平移|kx|个单位： 当 kx＞0 时，沿y轴正方向 移动；当 kx＜0 时，沿y轴负方向 移动；当 kx＝0 时，位置不变.在此变换作用下，y 轴上的点为不动点.
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2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？
【提示】 (1)恒等变换，关于 x 轴、y 轴的反射变换以及旋转变换，变换前 后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.
(2)切变变换把原来的正方形区域 变成了一边不动，另一边平移了的平行四 边形.
(3)投影变换把正方形区域变成了线段.
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所以x0′＝y0， y0′＝－x0，
故 x0′y0′＝－x0y0＝－1. 因此曲线 xy＝1 在矩阵 M 的作用下变成曲线 xy＝－1，如图所示.
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求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转 变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程.
【导学号：30650016】
【精彩点拨】 根据题设条件画出图形，数形结合求解.
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【自主解答】 (1) 如图所示，点 A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点 A 的坐标为(1，0).
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