2.2几种常见的平面变换仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程] 一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//yy x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E 三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。

2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1y y k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？ 四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21 练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。

写出伸压变换A 、B 的矩阵仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4例2、⊙C ：x 2+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001对应的伸压变换下变为一个椭圆，求此椭圆的方程（教材P16---例2）思考：平面图形对应的方程f(x,y)=0横（纵）坐标变为原来的k 倍，纵（横）坐标不变，得到的方程是什么？练习：曲线y=31cos2x 经过伸压变换下变为新的曲线y=cosx ，求变换T 对应的矩阵M五、小结：恒等与伸压变换的几何特征与矩阵表示 六、作业：教材：P33---1，2，3，4 [补充习题]1、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一直线y=x-1,则M=_____2、圆C ：x 2+y 2=4在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的伸压变换下为一贯饿椭圆，则此椭圆的方程为____3、椭圆x 2+22a y =1在矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001对应的伸压变换下变为一个圆，则a=______ 4、曲线y=sinx 经过变换T 作用后变为新的曲线l:y=2sin(x 21)求对应的变换M[补充习题解答]1、⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡41001； 2，141622=+y x ； 3，±2； 4，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002 [情况反馈]仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢第二课时 反射与旋转变换[教学目标]一、知识与技能：掌握反射与旋转变换的几何意义，从几何上理解二阶矩阵对应的变换是线性变换，并会证明二阶矩阵对应的变换是将直线变成直线或点 二、过程与方法：探究讲授法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]变换的理论探究[备注]本节是两节连上课，可以根据自身情况进行相应的调整 [教学过程]一、问题探究一：一个二阶矩阵对应一个变换，通过方程组表示写成矩阵表示 写出下列几何意义中对应的坐标，并将此变换用矩阵表示，指出其变换矩阵。

点P(x,y)(1)关于原点的对称点P /(-x,-y),⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 (2)关于x 轴的对称点仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6P /(x,-y),⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 (3)关于y 轴的对称点P /(-x,y),⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 说明以上变换是将平面图形关于直线或定点对称，称反射变换，相应的矩阵称反射矩阵，定直线称反射轴，顶点称反射中心思考1：关于直线y=x 及y=-x 的反射矩阵分别是什么？（⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110） 思考2：关于这些特殊直线或原点反射矩阵有什么规律？（一个对角线上的元素为0，另一个为或-1）例1、求直线y=4x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110变换下得到的方程，并说明二者的几何关系 解：设(x 0,4x 0)为直线y=4x 上任意一点，经过⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110变换后得到点(x,y),则根据： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡004x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡004x x ，于是⎩⎨⎧==004x y x x ，消去x 0得，x=4y ，几何关系：关于直线y=x 对称练习1：求y=x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110变换作用下的方程。

一般的，f (x,y)=0在⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下的方程是什么？ （x=y ,f (y,x)=0）练习2：若y=x 2(x ≥0)在反射矩阵M 作用下得到y=x 2(x ≤0) ，求反射矩阵M (⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7二、探究二：二阶非零矩阵对应的变换下，点的共线性质有无变化？一般地，对于向量a 、b ，在二阶非零矩阵M 作用下，线性性质是否变化？即：M(b a 21λλ+)=λ1M a +λ2M b 是否成立？设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 为其上一点，P(x,y),设P P 1=λ2PP ,则⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，在二阶非零矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 作用下，点P 1、P 2、P 的分别为(x 1/,y 1/),(x 2/,y 2/),(x /,y /) 则⎩⎨⎧+=+=kk k kk k dy cx y by ax x // ⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++λλλλ1)()(1)()(22112211dy cx dy cx by ax by ax =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++λλλλ11/2/1/2/1y y x x ，P /⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++λλλλ1,1/2/1/2/1y y x x ，于是/2//1PP P P λ=，P 1/、P 2/、P 共线，这说明点的共线性质不变。

同理，可以验证M(b a 21λλ+)=λ1M +λ2M 成立这样原来是一次式，结果是一次式或常数，而一次式方程对应于一条直线，以上说明：在一个二阶非零矩阵作用下，直线变仍然变为直线或点，其中把直线变为直线的变换称线性变换。

例2：二阶矩阵M 将点(1,-1)、(-2,1)分别变为(5,7)、(-3,6)， (1)求矩阵M (2)求直线L:x-y=4在此变换下所变成的直线L /的方程仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8（解答(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡----201372 (2)11x-3y-68=0） 三、探究问题三：旋转变换将点P(x,y)绕原点旋转θ角得到另一点P /(x /,y /),写出二者坐标的关系及相应的变换矩阵。

设|OP|=|OP /|=r,射线OX 到OP 的角为α，则x=rcos α，y=rsin α⎩⎨⎧+=+=+=-=-=+=θθθαθαθαθθθαθαθαsin cos sin cos cos sin )sin(sin cos sin sin cos cos )cos(//x y r r r y y x r r r x 对应的变换为T:⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos 称旋转变换矩阵，对应的角θ称旋转角，变换称旋转变换 1、矩阵的特点：主对角线相等，付对角线互为相反数，且列矩阵元素平方和为1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢92、几何意义上，关于原点对称也可以看作绕原点旋转1800；对应的矩阵关于原点的反射矩阵与旋转矩阵相同例3、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)求四边形ABCD 绕原点逆时针旋转900后得到的点的坐标，并作图（教材P23---例4）练习1：例中将ABCD 绕原点逆时针旋转300，坐标及图形又如何？练习2：设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110、B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001分别表示平面的什么变换？（绕原点旋转900，关于x 轴对称）例4、曲线xy=1表示等轴双曲线， (1)将之绕原点旋转θ角（|θ|<2π）能否转化为一个焦点在x 轴上的双曲线方程,能求出旋转角θ，旋转矩阵及相应的变换后的方程，不能说明理由 (2)求xy=1的焦点坐标解(1)设旋转矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ，点(x 0,01x )变换后的点为(x,y),则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-θθθθcos 1sin sin 1cos 000x x x x x 2-y 2=(x 02-201x )cos2θ-2sin2θ要与x 0无关焦点在x 轴上的双曲线，必须仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10⎩⎨⎧<=02sin 02cos θθ，2θ=2k π+π23,k ∈Z θ=k π+π43, k ∈Z ∵|θ|<2π ∴k=-1,θ=-4π，于是旋转矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222，相应的方程为x 2-y 2=2 (2) x 2-y 2=2焦点坐标为(±2，0)，相应xy=1的焦点是将(±2，0)绕原点逆时针旋转4π，根据矩阵变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22焦点坐标为(2,2)及（-2,-2）练习：求将椭圆4)3(2-x +y 2=1绕左焦点顺时针旋转900得到的曲线方程（提示：将平移和旋转综合考虑，方程4)3(2+y +x 2=1）四、问题探究四：关于直线L:y=kx 的投射变换矩阵是什么？解答：设点P(x,y)关于L:y=kx 的对称点为P /(x /,y /),直线L 的倾斜角为θ，设|OP|=|OP /|=r,射线OX 到OP 的角为α，则x=rcos α，y=rsin α,tan θ=k x /=rcos(2θ-α)=rcos2θcos α+rsin2θsin α=2211k k +-x+212k k+y y /=rsin(2θ-α)=rsin2θcos α-rcos2θsin α=212kk+x-2211k k +-y, 变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+++-22222211121211k k k k k k k k五、小结：反射变换和旋转变换六、作业：教材P33---5,6,8,13 [补充习题]1、椭圆(x-2)2+4)4(2-y =1在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001作用下的方程为_________ 2、圆(x-3)2+(y+6)2=4在矩阵M 所对应的变换下变为(x+3)2+(y-6)2=4，则矩阵M=_____,它属于_______矩阵3、曲线f(x,y)=0在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001作用下得到的曲线方程与原方程的几何关系为____________4、△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A /B /C /，已知A(0,0),B(1,3),C(0,2), A /(0,0),B /(-1,3),C(-3,1),求矩阵M5、设L 为过原点的直线，射线OX 到直线L 的角为300，求以直线L 为反射轴的反射矩阵A ，并求点P(-2,6)在作用下的点的坐标[补充习题答案]1、(x+2)2+4)4(2+y =12、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10013、关于x 轴对称4、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-212323215、A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321，P /(-1+33,-3-3) [情况反馈]第三课时 投影变换 [教学目标]一、知识与技能：掌握投影变换对应的矩阵及其几何意义 二、过程与方法：自学指导法三、情感态度与价值观：体会知识间的联系 [教学难点、重点]投影变换的矩阵表示 [教学过程]一、复习变换，看书25页----27页内容 二、指导问题1、投影变换的几何意义是什么？（将平面图形投射到一个点或一条直线上）2、投影变换是否为一一映射？（不是）。