、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
( 1 a 2 b ) = 1 a 2 b
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(1).设
a是非零向量,
是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a (2). 下列四个说法正确的个数有( C ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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例题分析 金太阳教育网
例1 计算下列各式
((12()) (2 (( 3) )2 ) 1 12) a aa ( (( b 2 ) )2 2 ( (a 1 )b a )) a 3( ( (a b 1 ) ) ba ) ; a
解 : (1) 2
计算下列各式
(1 ) ( 3) 4a 1 a 2
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 5b
( 3 )2 a ( 3 b c ) ( 3 a 2 b c )
a 5 b 2 c
( 4 )t 1 ( t2 )c ( b ) ( t 1 t2 )c ( b )
a A
a+b C
平行四边形
则 对角线 OC= a+b
4
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向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b a
o b
a a-b A
作法:
在平面中任取一点o,
B 过O作OA= a
过O作OB= b
则BA= a-b
5
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b
B 则OB= a+b.
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向量共线时的加法
abb a
ab ab
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3
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向量的加法(平行四边形信法赖源于则诚信)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
作法: 在平面中任取一点o ,
b ao
过O作 OA= a
b B 过O作 OB= b
以OA,OB为边作
位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、 质量等都是数量，这些向量与数量的关系，常常 在物理公式中出现，如力与加速度的关系F=ma， 位移与速度的关系s=vt，这些公式都是实数与 向量间的关系、实数与实数可以进行加法、减法、 求积等运算，实数与向量能否进行加法、减法、求 积运算呢？若能进行运算，运算的规则又如何呢？
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1
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向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b ao
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
过A作AB= b
a A
2
(2)
2(ab)3(ab)
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2a2b3a3b
(2a3a)(2b3b) a5b
(3) 原 （ a 式 b ） ( a b ) ( a b ) ( a b )
a b a b a b a b
2a2b
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一般地： ()a a a
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设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa) = (λμ) a (结合律) ②(λ+μ) a =λa +μa (第一分配律) ③λ(a+b) =λa+λb (第二分配律)
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
a、 b,
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
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复习回顾:
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实数乘法的运算律
1、交换律：ab = ba 2、结合律：a(bc)= (ab)c= b(ac） 3、分配律：a(b+c）= ab+ac
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金太阳教育网 a
2a
3(2a)
6a
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a
aaa
-a -a -a O
A 3a B
C
N
M
Q
P
-3a
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一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
(1) |λa| = |λ| |a|
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
3(2a)
=
6a
一般地: (a )( )a
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a
b
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2 (a b ) 2 a 2 b
2(ab)
ab
2b
2a
一般地: (a b )ab
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a
5a
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2a
3a
(2 3 )a 2 a 3 a
对于 m 和 实 a 、 向 b ， 数 m 量 恒 （ a b ） 有 m a m b ;
对于 m 、 n 和 实 a ， 向 数 (m 恒 量 n )a 有 m a n a ;
若 m am b(m R )则 , a 有 b;
若 m a n a (m 、 n R )a , 0 ,则 m 有 n ;
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高中数学4
§2.1.4 向量数乘
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a
3a = a+
a+
a
A
B
C
D
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a
- 3a＝(-
a)
+ (-
a)
+
(-
a)
A
B
C
D
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? 相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
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λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 a 方向放大或缩短.若 a 0,当 1时，沿 的方 a 向放大了 倍.当 〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈 1 〈0时， a 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
2t1b2t2c
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x x a xb 例2金太阳教例育网题分析 设 未知向量,解方程 5( +
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)+3 ( - )= 0
解: 原式可变形为
5 x+ 5 a+3 x-3 b= 0