§3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的有关概念 1．复数(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集(1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示方法：通常用C 表示． 3．复数的分类复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0).虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).思考 用图示法表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系．答案 如图所示．知识点二 两个复数相等复数相等的充要条件：如果两个复数的实部与虚部分别对应相等，那么我们就说这两个复数相等，即a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .思考 两个复数能否比较大小？若a ＋b i>0，则a ，b 的取值范围是什么？ 答案 两个复数若不全是实数，则不能比较大小． 由a ＋b i>0，知b ＝0，a >0.1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ ) 4．复数可以分为两类：实数与虚数．( √ )一、复数的概念例1 (1)若复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．3或－1 C ．－1 D ．－2答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，即m ＝3.(2)下列说法正确的是( ) A ．复数由实数、虚数、纯虚数构成B ．若复数z ＝3m ＋2n i ，则其实部与虚部分别为3m,2nC ．在复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )中，若x ≠0，则复数z 一定不是纯虚数D ．若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数 答案 C解析 A 错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数． B 错，只有当m ，n ∈R 时，才能说复数z ＝3m ＋2n i 的实部与虚部分别为3m,2n .C 正确，复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )为纯虚数的条件是x ＝0且y ≠0，只要x ≠0，则复数z 一定不是纯虚数．D 错，只有当a ∈R ，且a ≠－3时，(a ＋3)i 才是纯虚数．反思感悟 复数的概念理解要点(1)要判定一个复数是什么类型的数，首先要分清复数的实部和虚部以及它们对复数分类的影响，然后结合定义求解．(2)依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值范围，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0. 跟踪训练1 (1)下列命题中，正确的是( ) A ．1－a i(a ∈R )是一个复数B ．形如a ＋b i(b ∈R )的数一定是虚数C ．两个复数一定不能比较大小D ．若a >b ，则a ＋i>b ＋i 答案 A(2)若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－1或2答案 D解析 因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2. 二、两个复数相等例2 (1)已知(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，求实数m 的值； (2)已知x ＋y －xy i ＝24i －5，其中x ，y ∈R ，求x ，y 的值．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，解得m ＝－2. (2)∵x ，y ∈R ， ∴x ＋y ∈R ，xy ∈R ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－5，－xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝－8，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－8，y 2＝3. 反思感悟 利用复数相等求参数值的思路 (1)将等式两边都整理为a ＋b i(a ，b ∈R)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数．跟踪训练2 已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝____，n ＝_____. 答案 2 ±2解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.三、复数的比较大小问题例3 已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，求m 的值．解 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋1<0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2(舍m ＝－3)． ∴m ＝－2.反思感悟 复数的比较大小问题(1)复数问题解决的关键是“化虚为实”，转化为复数的实部、虚部的条件． (2)如果两个复数有大小关系，那么这两个复数都必定是实数．跟踪训练3 若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i>0，则实数m 的值等于________． 答案 3解析 由z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i>0，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1>0.∴m ＝3.1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案 C2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i 答案 C解析 由x 2＋2＝0，得x 2＝－2，即x 2＝2i 2， ∴x ＝±2i.3．下列命题中，真命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x ，y ∈C ，x 2＋y 2＝0，则只有x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 ①由于x ，y ∈C ，∴当x ＝i ，y ＝－i 时，x ＋y i ＝1＋i ，故①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，∴③是假命题． 4．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0即m ＝－2.5．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______条件． 答案 充分不必要解析 当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．1．知识清单： (1)复数的概念．(2)两个复数相等． (3)复数的比较大小问题．2．方法归纳：“化虚为实”、方程(组)法． 3．常见误区：(1)纯虚数概念理解错误． (2)复数的虚部易弄混．1．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4 D ．不存在答案 B解析 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝4，m ≠－1且m ≠6，∴m ＝4.2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故为3－3i. 3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4答案 C解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( ) A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．下列命题中错误的个数是( ) ①纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集； ②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 答案 C6．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i(其中x >0)，则实数x ＝________，y ＝________. 答案 1 1解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，∴x ＝y ＝1.7．若复数z ＝log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x －3)为实数，则实数x 的值为________． 答案 4解析 ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x －3)为实数， ∴log 2(x －3)＝0，即x －3＝1，∴x ＝4，代入x 2－3x －2，得42－3×4－2＝2>0，满足题意． 8．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>1，那么实数m 的值为__________． 答案 2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2.9．求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数． (2)复数z 是纯虚数的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．10．若x ∈R ，则实数a 为何值时，等式3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 成立？解 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0， ①10－x －2x 2＝0. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①，得a ＝11或a ＝－715.11．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0答案 D解析 由a ＋|a |＝0可得a ≤0， ∴复数z 为实数的充要条件是a ≤0.12．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( ) A ．4 B ．－1 C ．－1或4 D ．－1或6 答案 B解析 由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或－1，m ＝6或－1，得m ＝－1.13．若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．7 B ．－17C ．－7D ．－7或－17答案 C解析 ∵复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.14．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，且m ∈R ，若z 1<z 2，则m ＝____. 答案 1解析 由于z 1<z 2，m ∈R ，所以z 1∈R 且z 2∈R . 当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2； 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，解得m ＝1或m ＝4. 综上可知m ＝1，此时z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.15．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3答案 D解析 由题意知，cos α＋cos 2α＝0，∴2cos 2α＋cos α－1＝0， ∴cos α＝－1或cos α＝12.∵0<α<2π， ∴α＝π或π3或5π3.16．已知关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m 的值． 解 设方程的实数根为x 0， 则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，因为x 0，m ∈R ，所以方程变形为(x 20＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，m ＝112.。