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§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案
李 志 文
【教学目标】
知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念
过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法.
2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于
新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念.
情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创
新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;
2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和
处理问题。
【重点难点】

重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．
难点：复数的有关概念及应用．

【学法指导】
1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；
2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习
奠定方法基础.

【知识链接】
前两个学段学习的数系的扩充：

但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，
没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使
这个方程有解吗？

Q
N
Z

R

人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就
产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数
的全体构成自然数集N

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，
人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z.

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，
人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q.

用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有
理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有
理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.

N

x2=－1，x=?
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【问题探究】
探究一、复数的引入
引导1：由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，并规定：
（1）2i1 ；

（2）实数可以与i进行加法和乘法运算：

实数a与数i相加记为：ia；

实数b与数i相乘记为：bi；
实数a与实数b和i相乘的结果相加记为：bia；
（3）实数与i进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
引导2:复数的有关概念：

（1）我们把形如biaRba,的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，
全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．．字母 C 表示。
（2）复数的代数形式：
复数通常用小写字母z表示，即biazRba,，这一表示形

式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部。

例1请说出复数ii31,5,32的实部和虚部。
引导:考虑复数的有关概念.对于复数,zabiabR，a叫实部，b叫虚部.
解：

变式再练：请说出复数)12(,231,0,6,84iii的实部和虚部。

点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬
如这里我们引入的数i及引入数i后实数与i进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入
的规定要合理，要有一定的依据基础.

；，虚部是的实部是虚部是的实部是；，虚部是的实部是31031;0,553232i
i

.120)12(5;23212314066300024884)1(，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（；，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i
i
i
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探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系
对于复数,zabiabR：
当且仅当0b时，复数z表示 实数
当0b时，复数z叫做 虚数
当0,0ba时，复数z叫做 纯虚数
你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？

例2 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
72，618.0，i72，0，i，2i，85i，i293
实数：
虚数：
纯虚数：
例3 实数m分别取什么值时，复数immz11是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
引导:因为mR，所以1m，1m都是实数，由复数,zabiabR是实数、虚数、
纯虚数的条件可以确定实数m的值．
解：

变式再练1：当取何实数时，复数immz)1(12是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
解：（1）z为实数，则101mm即 （2）z为虚数，则101mm即

（3）z为纯虚数，则11101012mmmmm

（4）z为0 则
11101012m
m

m

m
m

复数集
（ 虚数集 ）
（ 实数集 ）
（纯虚数集）

2
,0,618.0,72i

iiii293,85,,72
ii,
7

2

（1）z为实数，则 m-1=0 即 m=1
（2）z为虚数，则
101mm即

（3）z为纯虚数，则
10101mmm，即且
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变式再练2：若复数immmm36522为纯虚数，试求实数m的值.
提示：由复数,zabiabR是纯虚数的条件可以确定实数m的值.

解：由题意：230320306522mmmmmmmmm且或

探究三、复数集与其它数集之间的关系：
N  Z Q  R  C.

【总结提升】
1.复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充
后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性；
2.复数的有关概念是学习复数的基础，学习时需根据复数是由其实部和虚部共同决定的这
一特征理解记忆.

【总结反思】
知识 .

重点 .
能力与思想方法 .

Z
N
R
C
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【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差