一、第三章习题详解：3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解：因为 257(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F 5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F 所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<765473322222128----=--+==3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ，6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为X \Y 12200.630.43.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ，83)21(21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ，8121()3,3(3====Y X P故(X ,Y )的概率分布为X \Y 13001/813/8023/8031/83.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他(1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdyy x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dxx x a dx y x a ⎰⎰---=---=10221022])4()6[(2])6(21[adx x a 9)5(21=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得9a =1，故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0(dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005.10289)6(23[91]21)6([91125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ;(2) 求}{P Y X ≤解：(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>，(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxxyu v uv x y F x y f u v dudv edudv edu e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形，由于(,)f x y =0，显然有(,)F x y =0。

综合起来，有2(1)(1),0,0,(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他(2) 求}{P Y X ≤(2)20330{}2211033x y y x yyyy P X Y dy e dx e dy e dxedy e +∞+∞+∞+∞-+--+∞--<==+∞==-=⎰⎰⎰⎰⎰3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点(,)X Y 的概率密度函数为2221(,),,,(1)f x y x y x y π=-∞<<+∞++求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.解：dr r rd dxdy y x a Y X P aay x ⎰⎰⎰⎰+=++=≤+≤+ππθπ2022222222)1()1(1)(222222021111]11[2112a a a r a+=+-=+-⋅⋅=ππ3.7设二维随机向量(,)X Y 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.X \Y 02510.150.250.3530.050.180.02解：因为 75.035.025.015.0)1(=++==X P 25.002.018.005.0)3(=++==X P 所以，X 的边缘分布为X 13P0.750.25因为 20.005.015.0)0(=+==Y P 43.018.025.0)2(=+==Y P 37.002.035.0)5(=+==Y P 所以，Y 的边缘分布为Y 025P0.200.430.373.8 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求边缘概率密度(),()X Y f x f y .解：因为，当20≤≤x 时，22123),()(13102xxy dy xy dy y x f x f X ====⎰⎰∞+∞-；其他情形，显然()0.X f x =所以，X 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0202/)(x x x f X 又因为，当10≤≤y 时，22222234323),()(y y x dx xy dx y x f y f Y ====⎰⎰∞+∞-其他情形，显然()0.Y f y =所以，Y 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他103)(2y y y f Y3.9 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他求边缘概率密度(),()X Y f x f y .解，积分区域显然为三角形区域，当01x ≤≤时，0y x ≤≤，因此220()(,) 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)xx X f x f x y dy y x dy x yx x +∞-∞==-=-=-⎰⎰；其他情形，显然()0.X f x =所以，X 的边缘分布密度为22.4(2)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他同理，当01y ≤≤时，1,y x ≤≤因此1122()(,) 4.8(2) 2.4(4) 2.4(34)Y yyf y f x y dx y x dx y x x y y y +∞-∞==-=-=-+⎰⎰其他情形，显然()0.Y f y =所以，Y 的边缘分布密度为22.4(34)01()0Y y y y y f y ⎧-+≤≤=⎨⎩其他3.10 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为2,,(,)0,c x y x f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度(),()X Y f x f y .解：(1)因为dyc dx dxdy y x f xx⎰⎰⎰⎰=+∞∞-+∞∞-102),(16)32()(1032102==-=-=⎰c x x c dx x x c 所以 c = 6.(2) 因为，当10≤≤x 时，)(6),()(22x x dy c dy y x f x f xxX -===⎰⎰+∞∞-所以，X 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤-=其他010)(6)(2x x x x f X 又因为，当10≤≤y 时，)(66),()(y y dx dx y x f y f yyY -===⎰⎰+∞∞-所以，Y 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤-=其他010)(6)(y y y y f Y 3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.解：由T3.7知，X 、Y 的边缘分布分别是X 13Y 025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X =1时，Y 的条件分布为 5175.015.0)1|0(====X Y P 3175.025.0)1|2(====X Y P 15775.035.0)1|2(====X Y P 即Y 025P1/51/37/15(2)当X =3时，Y 的条件分布为 5125.005.0)3|0(====X Y P 251825.018.0)3|2(====X Y P 25225.002.0)1|2(====X Y P 即Y 025P1/518/252/25(3)当Y =0时，X 的条件分布为4320.015.0)0|1(====Y X P 4120.005.0)0|3(====Y X P 即X 13P3/41/4(4)当Y =2时，X 的条件分布为581.043.025.0)2|1(====Y X P 419.043.018.0)2|3(====Y X P 即X 13P0.5810.419(5)当Y =5时，X 的条件分布为946.037.035.0)5|1(====Y X P 054.037.002.0)5|3(====Y X P 即X 13P0.9460.0543.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x (0 < x < 1) 时, Y 在区间(x ,1) 上随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.解：因为 ⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X ， ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他111)|(|y x xx y f X Y 所以(X ,Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=⋅=其他1,1011)|()(),(|y x x xx y f x f y x f X Y X 于是 yy dx x dx y x f y f yY -=--=-==⎰⎰+∞∞-11ln)1ln(11),()(0)10(<<y 故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他1011ln)(y yy f Y 3.13 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为2,01,02,(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求条件概率密度(),XY f x y (),YXf y x 以及11{}22P Y X <=.解：因为，当10≤≤x 时，x x dy xy x dy y x f x f X 3223(),()(2202+=+==⎰⎰+∞∞-又当20≤≤y 时，6313(),()(102y dx xy x dx y x f y f Y +=+==⎰⎰+∞∞-所以，在Y =y 的条件下X 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++==其他010226)(),()|(2|x yxyx y f y x f y x f Y Y X 在X =x 的条件下Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++==其他20263)(),()|(|y x yx x f y x f x y f X X Y dy y dy y f X Y P X Y ⎰⎰+===<21021|52321|()21|21(407401203)10103(2102=+=+=y y 3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？解: 由T3.7知，X 、Y 的边缘分布分别是X 13Y 025P0.750.25P0.200.430.37{1}P X ==0.75, {2}0.43P Y ==,而{1,2}0.25P X Y ===,显然{1}P X ={2}P Y ⨯=≠{1,2}0.25P X Y ===,从而X 与Y 不相互独立.3.15设二维随机向量(,)X Y 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.X \Y 02510.150.250.3530.050.180.02问,a b 取何值时, X 与Y 相互独立?解：因为 311819161)1(=++==X P ，a Y P +==91)2(要X 和Y 相互独立，则 )2()1()2,1(=====Y P X P Y X P 即)91(3191a +=，得929131=-=a 由 (1)(2)1P X P X =+==，得 12(2)1(1)133P X P X ==-==-=即3231=++b a ，得913132=--=a b3.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立？解：由习题3.8，二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他X 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0202/)(x x x f X ，Y 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他103)(2y y y f Y ，显然有(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.由习题3.9,维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他,X 的边缘分布密度为22.4(2)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他，Y 的边缘分布密度为22.4(34)01()0Y y y y y f y ⎧-+≤≤=⎨⎩其他,显然有(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立.3.17设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为21,0,0,(1)(,)0,xxe x y y f x y -⎧<<⎪+=⎨⎪⎩其他,问X 与Y 是否相互独立?解：因为 dy y xe dy y x f x f xX ⎰⎰+∞-+∞∞-+==2)1(1),()()0()11(0>=+-=-+∞-x xe y xe xx dx y xe dx y x f y f xY ⎰⎰+∞-+∞∞-+==02)1(1),()()0()1(1)()1(1)()1(120202>+=+-+=-+=+∞---+∞⎰y y e xe y e d x y x x x 对于x >0,y >0，都有 )()(),(y f x f y x f Y X =,所以，X 与Y 是相互独立的.3.18 设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为()1,0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其他讨论,X Y 的独立性.解：因为 )0(1),(lim )(≥-==-+∞→x ey x F x F xy X )0(1),(lim )(≥-==-+∞→y ey x F y F yx Y 由于)0,0(),(1)1)(1()()()(≥≥=+--=--=+-----y x y x F e e e e ey F x F y x y x y xY X 所以，X 与Y 是相互独立的。