必修二 第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当时，； 当时，； 当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

12注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。

方程组有无数解与重合（8设是平面直角坐标系中的两个点，（9一点到直线的距离（10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ，∴ca c ab a b a --=--3333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2，∴b 2-c 2+ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0，∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c ≠0，∴a+b+c=0. 2.若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ）A.21B.33 C.23D.3答案D3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx 中，得k=-52，此时，直线方程为y=-52x, 即2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-21， 此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A(a,0),B(0,b), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1,即2x+3y-12=0. 方法二 设直线l 的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l 在x 轴上的截距a=3-k2,令x=0,得直线l 在y 轴上的截距b=2-3k. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k)=24.解得k=-32.∴所求直线方程为y-2=-32(x-3).即2x+3y-12=0.9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.解 方法一 直线x+my+m=0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0.又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y-1=(x+1),即y=31x+34,代入x+my+m=0, 整理，得x=-37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21.两直线方程例1 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1不平行于l 2;当a=0时，l 1:y=-3,l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2;当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y=-x a 2-3,l 2:y=x a-11-(a+1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a=-1,综上可知，a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a-1）-1×2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a(a 2-1)-1×6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a=-1,故当a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.（2）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.当a ≠1时，l 1:y=-2a x-3,l 2:y=x a -11-(a+1), 由⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ·a-11=-1⇒a=32.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a+2(a-1)=0⇒a=32.例3 已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x+y+1=0,l 2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x=3,此时与l 1,l 2的交点分别是A （3，-4），B （3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l 的方程为x=3或y=1.方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ①6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x=3或y=1.例4 求直线l 1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l 2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k=21(k=2舍去)，∴直线l 2的方程为x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点P （x,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则 （ ）°≤α＜180°°≤α＜135° C. 0°＜α≤135°D. 0°＜α＜135° 答案 D2.曲线y=x 3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） °°°°答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为( )或3或4答案 A4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为（ ）+y=0 +5=0 =0 +2y-5=0答案 A5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =k BC ，∴A 、B 、C 三点共线.例2已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为34.例3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y=3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x,y 轴上的截距均为a,若a=0，即l 过点（0，0）和（3，2），∴l 的方程为y=32x ，即2x-3y=0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵l 过点（3，2），∴123=+aa ，∴a=5，∴l 的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l 的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-k2,令x=0,得y=2-3k, 由已知3-k 2=2-3k ，解得k=-1或k=32,∴直线l 的方程为：y-2=-（x-3）或y-2=32(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43.又直线经过点A （-1，-3），、 因此所求直线方程为y+3=-43(x+1),即3x+4y+15=0. 例4 （12分）过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1),由已知可得112=+b a （1）∵2ba 12•≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥ 4.当且仅当a 2==21,即a=4,b=2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即x+2y-4=0. 6分 （2）由a2+=1,得ab-a-2b=0, 变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|·|PB|=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a .当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.此时直线l 的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l 的方程为y-1=k(x-2) (k ＜0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12（1-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k=-k 1,即k=-21时取最小值，此时直线l 的方程为y-1=-21(x-2),即x+2y-4=0. 6分（2）|PA|·|PB|=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k=4k 2,即k=-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.一、选择题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）+2y-6=0 +y-6=0+7=0=0答案B3.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是（ ）+1=0+1=0 =0=0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a= . 答案 1+25.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题6.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.·解 方法一 直线x+my+m=0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m 1≤-2，∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-1=(x+1),即y=31x+34,代入x+my+m=0,整理，得x=-37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y=k(x+3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k+4， 由已知，得（3k+4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b,则直线l 的方程是y=61x+b,它在x 轴上的截距是-6b, 由已知，得|-6b ·b|=6，∴b=±1. ∴直线l 的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0. 8.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m=-1时，直线AB 的方程为x=-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y-2=11+m (x+1). （2）①当m=-1时，α=090;②当m ≠-1时，m+1∈(]3,00,33Y ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-，∴k=11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33， ∴α∈[)(]0120,9090,30Y .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.9.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x-y-2=0与l 2:x+y+3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k=833110316=--. ∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0. 方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P(3,0)是线段AB 的中点，∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0，∴k 2-8k=0，解得k=0或k=8. 又∵当k=0时，x A =1,x B =-3,此时32312≠-=+B A x x ,∴k=0舍去， ∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.。