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直线与方程专题复习

专题复习 直线与方程【基础知识回忆】1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点:ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . (2)直线的斜率①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量,它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为:=k③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。

倾斜角为 的直线斜率不存在。

2.两直线垂直与平行的判定(1)对于不重合的两条直线21,l l ,其斜率分别为21,k k ,,则有:⇔21//l l ⇔ ; ⇔⊥21l l ⇔ . (2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时,这两条直线 ;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,两条直线 . 3.直线方程的几种形式注意:求直线方程时,要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式(1)两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是:=||21P P . (2)点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是:=d .(3)两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是:=d .【典型例题】题型一:直线的倾斜角与斜率问题例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .(1)求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.(2)若D 为ABC ∆的边AB 上一动点,求直线CD 斜率k 的变化范围.例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则:A .k 1<k 2<k 3B .k 3<k 1<k 2C .k 3<k 2<k 1D .k 1<k 3<k 2例3、利用斜率证明三点共线的方法:若A(-2,3),B(3,-2),C(0,m)三点共线,则m的值为 .总结:已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或,则有A 、B 、C 三点共线。

例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ,直线l 不过第二象限,求a 的取值范围。

变式:若0<AC ,且0<BC ,则直线0=++C By Ax 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限题型二:直线的平行与垂直问题例1、 已知直线l 的方程为01243=-+y x ,求下列直线l '的方程, l '满足(1)过点)3,1(-,且与l 平行;(2)过)3,1(-,且与l 垂直.本题小结:平行直线系:与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为01=++C By Ax垂直直线系:与直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为02=+-C Ay Bx变式:(1)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程(2)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程例2、1l :0)1(=+-+m y mx ,2l :02=-+m my x ,①若1l ∥2l ,求m 的值;②若1l ⊥2l ,求m 的值。

变式:(1)已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行,则m 的值为( )A. 0B. 8-C. 2D. 10(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则系数a =( )A . -3B .-6C .23- D .32(3)若直线1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直,则m 的值是 .题型三:直线方程的求法例1、求过点P (2,-1),在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。

例2、已知ABC ∆三个顶点是)4,1(A -,)1,2(B --,)3,2(C .(1)求BC 边中线AD 所在直线方程;(2)求AC 边上的垂直平分线的直线方程 (3)求点A到BC边的距离.变式:1.倾斜角为45︒,在y 轴上的截距为1-的直线方程是( )A .1y x =+B .1y x =--C .1y x =-+D .1y x =- 2.求经过A (2,1),B (0,2)的直线方程3. 直线方程为02)1(=-+++a y x a ,直线l 在两轴上的截距相等,求a 的方程;4、过P (1,2)的直线l 在两轴上的截距的绝对值相等,求直线l 的方程5、已知直线l 经过点(5,4)P --,且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线l 的方程.题型四:直线的交点、距离问题例1:点P (-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为( )A .2B .21 C .1 D .27例2:已知点P (2,-1)。

(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程;(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由。

例3:已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=,(1)试判断1l 与2l 是否平行,如果平行就求出它们间的距离; (2)1l ⊥2l 时,求a 的值。

变式:求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离 。

题型五:直线方程的应用例1、已知直线0355:=+--a y ax l .(1)求证:不论a 为何值,直线l 总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求a 的取值范围.例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是 ( )A .(-2,1)B .(2,1)C .(1,-2)D .(1,2)圆与方程1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+.2. 点与圆的位置关系:(1). 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上d=r ; c.点在圆外d >r(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔(③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔(3)涉及最值:① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB的最值min PB BN BC r==- max PB BM BC r==+② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA的最值min PA AN r AC==- max PA AM r AC==+思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC )3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .(1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422FE D r -+=.(2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D .(3) 当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形.注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4. 直线与圆的位置关系:直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1)无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ;3)有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ;弦长|AB|=222d r -drd=rrd还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解,通过解的个数来判断:(1)当0>∆时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当0=∆时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当0<∆时,直线与圆没有交点,直线与圆相离;5. 两圆的位置关系(1)设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-, 圆心距221221)()(b b a a d -+-=① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ; ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ;外离 外切 相交 内切 (2)两圆公共弦所在直线方程 圆1C :221110x y D x E y F ++++=, 圆2C :222220x y D x E y F ++++=,则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明: ① 若1C 与2C 相切,则表示其中一条公切线方程; ② 若1C 与2C 相离,则表示连心线的中垂线方程.(3)圆系问题 过两圆1C :221110x y D x E y F ++++=和2C :222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1λ≠-)补充:① 上述圆系不包括2C ;② 2)当1λ=-时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6. 过一点作圆的切线的方程: (1) 过圆外一点的切线: ①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即 ⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y求解k ,得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线,则切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程:圆(x —a )2+(y —b )2=r 2,圆上一点为(x 0,y 0), 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2特别地,过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.例2.经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线,则切线方程为 。

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