称 VABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 3 个
D. 无数个
三、解答题
17. 设 z +1为关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 （ m, n R ）的虚根， i 为虚数单位．
（1）当 z = −1+ i 时，求 m, n 的值；
（2）若 n =1 ，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P ，复数 2 + 4i 所对应的点为 Q ，试求 PQ 的
42
上海高中生 （2）过点
P
2
,
1 2
，作椭圆的弦
AB
，使
uuur AP
=
uuur 3PB
，求弦
AB
所在的直线方程．
( ) ( ) 20. 圆 M1 : x2 + y +
2
2
=
9 4
2
，圆
M
2
:
x2
+
y−
2
2
=
1 4
2
，动圆
P
与两圆
M1
,
M
2
外切．
（1）动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程；
标的取值范围；若不存在，则说明理由．
上海高中生
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参考答案
1、 m = 2
2、 −1
3、 y = −3
4、 2
6、11
7、−6
8、1
9、 −
10 5
,
3
10 5
11、 ab = 1 4
13-16、BCAD
12、10
17、（1） m = 0 ， n =1 ；（2）4, 6 ；
5、 −3 或 2 10、2x + y − 7 = 0（ x 3）
上海交通大学附属中学 2018-2019 学年度第一学期
高二数学期末考试试卷
一、填空题
( ) ( ) 1. 复数 z = m2 − 5m + 6 + m2 − 3m i, m R ，i 为虚数单位，实数 m = ____________时 z 是纯
虚数．
2. 复数 z = (2 + i)(1− i) ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为____________．
高 x 3 上海 8. 若复数 z 满足 z 2i = z 2 +1（其中i 为虚数单位），则 z = ____________．
9. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1) 和点 B (−3, 4) ，若点 C 位于第二象限，且在 AOB 的
uuur
uuur
平分线上， OC = 2 ，则 OC = ____________．
uuur
uuur
uuur uuur
AP = ( −1)OA( R) ， 且 OAOP = 48 ， 则 线 段 OP 在 x 轴 上 的 投 影 长 度 的 最 大 值 为
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____________．
二、选择题
13. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （其中 a,b, c R, a 08、（1） z = −1 3i ；（2） z = − 1 3 i 22
19、（1） 4 5 − 2 15 ；（2） x = 2 或 3 2x + 8y −10 = 0 5
20、（1）
y2
−
x2
= 1（
y
1）；（2） −1, −
2 2
上海高中生 21、（1） y2 = 4x ；（2）−3；（3）(−,−6)U10,+)
10.
参数方程
x
y
= =
2 + 3t 1+ t 1− 2t 1+ t
（
t
为参数）化成普通方程是____________．
( ) 11. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 双 曲 线 的 中 心 在 原 点 ， 它 的 一 个 焦 点 坐 标 为 5, 0 ，
ur
uur
uuur uuur uuur
21. 过抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两点，且 M , N 两点的纵坐标之
积为 −4 ．
（1）求抛物线的方程；
uuuur uuur （2）求 OM ON 的值（其中 O 为坐标原点）；
（3）已知点 A(1, 2) ，在抛物线上是否存在两点 B 、C ，使得 AB ⊥ BC ？若存在，求 C 点的纵坐
（2）过点 N (1, 0) 的直线与曲线 C 交于不同的两点 N1, N2 ，求直线 N1N2 斜率的取值范围；
（3）是否存在直线 l : y = kx + m 与轨迹 C 交于点 A, B ，使 OAB = ，且 AB = 2 OA ，若存在， 2
求 k, m 的值；若不存在，说明理由．
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取值范围．
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18. （1）已知非零复数 z 满足 z + 2 = 2, z + 4 R ，求复数 z ； z
（2）已知虚数
z
使
z2 z+
1
和
z z2 +1
都是实数，求虚数
z
．
19. 已知椭圆 x2 + y2 = 1． 42
（1） M 为直线 l : x + y = 1 上动点， N 为椭圆上动点，求 MN 的最小值；
e1 = (2,1), e2 = (2, −1) 分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线 上的点 P ，若 OP = ae1 + be2
（ a 、 b R ），则 a 、 b 满足的一个等式是____________．
12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 A 在 椭 圆 x2 + y2 = 1 上 ， 点 P 满 足 25 9
3. 抛物线 x2 = 12 y 的准线方程为____________．
r
r
ur r r r r r
ur r
4. 已知向量 a = (1, −2),b = (1,1), m = a − b, n = a + b ，如果 m ⊥ n ，则实数 = ____________．
5. 若直线 l1 : ax + 2 y = 0 和 l2 : 3x + (a +1) y +1 = 0 平行，则实数 a 的值为____________．
A. 1 条
B. 2 条
C. 3 条
D. 4 条
uuur uuur
uuur uuur
15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ⊥ BC, AD ⊥ DC ．若 AB = a, AD = b ，则 AC BD =（ ）
高中生 A. b2 −a2
B. a2 − b2
C. a2 + b2
D. ab
海 uuur uuur uuur r 上 16. 已知 F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点， A, B,C 为抛物线 C 上三点，当 FA+ FB + FC = 0 时，
A.
两根 x1, x2 满足 x1 + x2
=−b a
； x1 x2
=
c a
B. 两根 x1, x2 满足 x1 − x2 = ( x1 − x2 )2
C. 若判别式 = b2 − 4ac 0 时，则方程有两个相异的实数根
D. 若判别式 = b2 − 4ac = 0 时，方程有两个相等的根
14. 已知两点 A(1, 2), B (4, −2) 到直线 L 距离分别是 1,4，则满足条件的直线 L 共有（ ）
6.
设双曲线
x2 9
− y2 b2
= 1(b 0) 的焦点为 F1 、 F2 ；
P
为该双曲线上的一点，若
PF1
= 5 ，则
生 PF2 = ____________．
中 x − y +1 0
7. 设 x, y 满足约束条件 x + y −1 0 ，则 z = 2x − 3y 的最小值是____________．