上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面Q 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4试题分析：2V a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u v 的坐标为________【答案】(4,3,2)-如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-u u u u v.5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。

考点：异面直线及其所成的角.7.已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________．（写出所有可能值）【答案】0，2，4【分析】可将所有情况分为三类：①,A B 在平面同侧，且C 在平面另一侧；②,B C 位于平面同侧，A在平面另一侧；③,,A B C 在平面同侧；利用重心分中线成比例的性质可分别求得结果.【详解】设,A B 到平面α距离为3；C 到平面α距离为6①若,A B 在平面同侧，且C 在平面另一侧，则//AB α取AB 中点D ，连接CD ，设重心为G又D 到平面α的距离13d =，C 到平面α的距离26d = 由重心性质可知：2CG DG = 21d CG DG d ∴= G α∴∈ G ∴到平面α的距离为0②若,B C 位于平面同侧，A 在平面另一侧，取AC 中点D ，连接BD设重心为G ，,,B G D 在平面α内的射影分别为：,,B G D '''，如下图所示：()1363322DD '=⨯+-=，3BB '= 又2BG GD = 2GG '∴=，即G 到平面α距离为2③若,,A B C 在平面同侧，则//AB α，取AB 中点D ，连接CD设重心为G ，,,C D G 在平面α内的射影分别为,,C D G '''，如下图所示：3DD '=，6CC '=又2CG GD = 4GG '∴=，即G 到平面α距离为4综上所述，重心到平面α距离为0,2,4本题正确结果：0,2,4【点睛】本题考查点到面的距离的求解，关键是能够将原题进行准确的分类，做到不重不漏；考查了学生对于重心分中线成比例的性质的应用.8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP u u u r u u u r 的取值范围是 ．【答案】[]0,1试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴AP AB BP DC BP =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(),1,λλλ=--，∴，故答案为[]0,1．考点：平面向量数量积的运算.9.如图，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则折叠后以(),,,A B C D O 为顶点的四面体的体积为__________．【答案】823折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝2，所以体积V ＝13S △OCD ·OA ＝13×122)3＝82310.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为__________．【答案】55【分析】由三视图还原几何体后，可根据垂直关系，利用勾股定理得到,x y 之间的关系：()2250,0x y x y +=>>；利用三角换元的方式可将问题转化为三角函数最值的求解，根据三角函数的值域可求得结果.【详解】由三视图可得到三棱锥O ABC -如下图所示：其中2OC =，AC y =，1BC =24OA y ∴=-2225x OA BC y ∴=+=- ()2250,0x y x y ∴+=>>设5x θ=，5y θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()34354555x y θθθϕ∴+=+=+，其中3tan 4ϕ=且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()0,θϕπ+∈Q ∴当2πθϕ+=时，34x y +取得最大值：55本题正确结果：55【点睛】本题考查三视图还原几何体、利用圆的参数方程即三角换元法求解最值问题；解题关键是能够根据棱长关系得到,x y 所满足的关系式，从而利用三角换元将问题转化为三角函数值域问题的求解.11.已知,,,A B C P 为半径为R 的球面上的四点，其中,,AB AC BC 间的球面距离分别为3R π，2R π，2R π，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为球心，则x y z ++的最大值是__________．【分析】根据球面距离可求得ABC ∆三边长，利用正弦定理可求得ABC ∆所在小圆的半径；OP OP x y z'=++u u u v u u u v ，根据平面向量基本定理可知,,,P A B C '四点共面，从而将所求问题变为R OP 'u u u v 的最大值；根据OP 'u u u v 最小值为球心到ABC ∆所在平面的距离，可求得OP 'u u u v 最小值，代入可求得所求的最大值.【详解】AB Q 间的球面距离为3R π 3AOB π∴∠= 2sin 6AB R R π∴==同理可得：BC AC ==2223cos 24AC BC AB C AC BC +-∴==⋅sin C ∴= ABC ∆∴所在小圆的半径：12sin 7AB r R C =⨯= 设OP x y z x y z x y z O x y P xOA yOB zOC z=+'=+++++++++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,,,P A B C '∴四点共面 OP R x y z OP OP ∴++==''u u u v u u u v u u u v 若x y z ++取最大值，则需OP 'u u u v 取最小值OP 'u u u vQ 最小值为球心到ABC ∆所在平面的距离2221d R r R =-= ()max 21217x y z R ∴++== 本题正确结果：21 【点睛】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.12.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线,BC AD 相交于点,G H ，则下列结论正确的是___________．①对于任意的平面α，都有直线GF ，EH ，BD 相交于同一点；②存在一个平面0a ，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上； ③对于任意的平面α，都有EFG EFH S S ∆∆=；④对于任意的平面α，当,G H 在线段,BC AD 上时，几何体AC EGFH -的体积是一个定值.【答案】③④【分析】当,G H 分别为,BC AD 中点时，可知三线互相平行，排除①；若三线相交，交点必在BD 上，可排除②；取,BD AC 中点,I J ，利用线面平行判定定理可证得//BC 平面EIFJ ，//AD 平面EIFJ ，再结合E 为AB 中点可得,G H 到平面EIFJ 的距离相等，进一步得到,G H 到直线EF 的距离相等，从而证得面积相等，③正确；首先通过临界状态H 与D 重合，G 与C 重合时，求得所求体积为四面体体积一半；当不位于临界状态时，根据③的结论可证得C EFGD EFH V V --=，从而可知所求体积为四面体体积一半，进而可知为定值，④正确.【详解】当,G H 分别为,BC AD 中点时，////EH BD GF ，则①错误 若,,EH FG BD 三线相交，则交点M BD ∈∴不存在G 在线段BC 上，H 在线段AD 延长线上的情况，则②错误 取,BD AC 中点,I J ，如图1所示：,E J Q 分别为,AB AC 中点 //EJ BC ∴又EJ ⊂平面EIFJ ，BC ⊄平面EIFJ //BC ∴平面EIFJ 同理可得：//AD 平面EIFJ,A H ∴到平面EIFJ 的距离相等；,B G 到平面EIFJ 的距离相等 又E 为AB 中点 ,A B ∴到平面EIFJ 的距离相等,G H ∴到平面EIFJ 的距离相等连接GH 交EF 于K ，则K 为GH 中点 ,G H ∴到EF 距离相等 EFG EFH S S ∆∆=∴，则③正确当H 与D 重合，G 与C 重合时，此时几何体体积为三棱锥A CDE -的体积 E Q 为AB 中点 ∴三棱锥A CDE -的体积为四面体A BCD -体积的一半当如图2所示时，由③可知EFG EFH S S ∆∆=又F 为CD 中点 ,C D ∴到截面的距离相等 C EFG D EFH V V --∴=∴12AC EGFH A BCD V V --=综上所述，几何体AC EGFH -的体积为四面体A BCD -体积的一半，为定值，则④正确 本题正确结果：③④【点睛】本题考查立体几何中的截面问题，涉及到几何体体积的求解、点到面的距离、直线交点问题等知识；要求学生对于空间中的直线、平面位置关系等知识有较好的理解，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力有较高的要求，属于难题.二、选择填（本大题共4题,每小题5分,满分20分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A.223πB.423πC. 22πD. 42π【答案】B试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B ．考点：圆锥的体积公式．14.如图，在大小为45°的二面角A ­EF ­D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )3 2 C. 1 32-【答案】D 【分析】由DB ED FE BF =++u u u v u u u v u u u v u u u v，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】BD ED FE BF =++u u u v u u u v u u u v Q u u u v,22222221112BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vn n n 故32BD =-u u u v故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础。