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[再练一题]
1.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y＝4－x2 在 x 轴
上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽. 【解】 设矩形边长 AD
＝2x(0<x<2)，
则|AB|＝y＝4－x2， 则矩形面积为 S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)，
x来刻画.为了使该球场每平方米的综
合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
【精彩点拨】 先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费 用之和.
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【自主解答】 设建成 x 个球场，则 1≤x≤10，每平方米的购地费用为
12180×001x04＝1 2x80元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用 f(x)＝
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令 V′(x)＝0，得 x＝10 或 x＝36(舍去). 当 0＜x＜10 时，V′(x)＞0，即 V(x)是增加的； 当 10＜x＜24 时，V′(x)＜0，即 V(x)是减少的. 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最大值，其最大值 为 V(10)＝19 600(cm3). 因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.
故当建成 8 个球场时，每平方米的综合费用最省.
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实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利 用导数求解相应函数的最小值.根据 f′x＝0 求出极值点注意根据实际意义舍去 不合适的极值点后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是 所求函数的最小值.
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图 3-4-2
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【精彩点拨】
设自变量高为x ―→ 根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数 ―→
利用导数求出容积的最大值 ―→ 结论 【自主解答】 设容器的高为 x cm，容器的容积为 V(x)cm3，则： V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24). 所以 V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36).
8001＋15ln
x来表示，所以每平方米的综合费用为
g(x)＝f(x)＋1
2x80＝800＋160ln
x＋1 2x80(x＞0)，所以 g′(x)＝160xx2－8(x＞0)，
令 g′(x)＝0，则 x＝8，当 0＜x＜8 时，g′(x)＜0，
当 x＞8 时，g′(x)＞0，所以 x＝8 时，函数取得极小值，且为最小值.
∴S′＝8－6x2，令 S′＝0，
解得 x1＝23 3，x2＝－233(舍去).
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当
2 0<x<
3
3，S′>0，当2 3
3 <x<2
时，S′<0，
所以，当 x＝233时，S 取得最大值，
此时 Smax＝329 3.
即矩形的边长分别为4 3 3，83时，矩形的面积最大.
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用XX料X (费用)最省问题
某网球中心欲建连成片的网球场数块，用 128 万元购买土地 10 000
平方米，该中心每块球场的建设面积为 1 000 平方米，球场的总建筑面积的每平
方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场 x 块时，每平方米的平均建
设费用(单位：元)可近似地用
f(x)＝8001＋51ln
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1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题 意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值.
2.实际问题中函数定义域确定的方法 (1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成 本价、销售量大于零等.
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【解】 (1)Q＝P·40v0
＝19
1200v4－1160v3＋15v·40v0
＝19
1200v3－1160v2＋15·400
＝4v83－52v2＋6 000(0＜v≤100).
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(2)Q′＝1v62 －5v， 令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80， 当 0＜v＜80 时，Q′＜0； 当 80＜v≤100 时，Q′＞0， ∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且 Qmin＝Q(80) ＝2 0300(元).
3.4 生活中的优化问题举例
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1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点) 2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能 力.(难点)
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[基础·初探] 教材整理 优化问题 阅读教材 P101 第一自然段，完成下列问题. 1.优化问题 (1)生活中经常会遇到求_利__润__最__大_、_用__料__最__省_、效__率__最__高__等问题，这些问题 通常称为优化问题. (2)用导数解决优化问题的实质是求__函__数__的__最__值__.
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2.用导数解决优化问题的基本思路
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甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图 3-4-1 所示：
图 3-4-1
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现有下列四种说法：
①前四年该产品产量增长速度越来越快；
②前四年该产品产量增长速度越来越慢；
③第四年后该产品再练一题] 2.甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关 系是 P＝19 1200v4－1160v3＋15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的 最小值.
④第四年后该产品年产量保持不变.
其中说法正确的有( )
A.①④
B.②④
C.①③ 【解析】 【答案】
D.②③
由图象可知，②④是正确的.
B
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[小组合作型] 面积、体积最值问题
用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四 个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接而成(如图 3-4-2).问 该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？