化归思想在方程中的应用
【摘要】在数学教育中，化归方法是”问题”的一种重要手段和方法。
本文从化归的功能，化归的实质，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，着重归纳了用化归思想方法解题的三个注意点，力求比较全面地体现化归思想在方程解题中的作用和地位。
【关键词】化归方法方程
【中图分类号】g718 【文献标识码】a 【文章编号】
2095-3089（2013）01-0236-02
什么是化归方法，从字面上看，所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。
数学方法论中所论及的“化归方法”，是指数学家把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
化归方法也称为化归原则。
在数学史上，曾有不少数学家从各种不同的角度对化归方法进行过论述。
例如，笛卡尔在《指导思想的法则》一书中就曾提出过如下的“万能方法”：
第一，将任何种类的问题化归为数学问题；
第二，将任何种类的数学问题化归为代数问题；
第三，将任何代数问题化归为方程式的求解。
化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。
其一般模式是把所
要解决的问题a经过某种变化，使之归结为另一个问题a*，再通过问题a*的求解，得原有问题a的解答。
用框图表示如下：
化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。
要正确运用化归思想，就要分清化归的对象，明确要化归的方向，考虑实施化归的策略。
我们知道，在初等代数中方程的分类可列表如下：
方程代数方程有理方程整式方程一次方程二次方程高次方程分
式方程分式方程超越方程指数方程对数方程三角方程反三角方程
解一元代数方程，最基础的是要掌握一元一次方程ax+b=0（a≠0）和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法。
解一元分式方程和一元无理方程的基本方法都是通过适当的变形转化为解整式方程。
四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式。
解初等超越方程最终都转化为最简超越方程。
类型有：（1）指数方程ax=c（a>0，a≠1）；（2）对数方程logax=c（a>0，a≠1）；（3）幂函数方程xa=c（a是有理数）；（4）三角方程sinx=c，cosx=c，tanx=c。
而在解初等初等超越方程的过程中，又往往其转化成代数方程形式去解，最后才转化为最简单的超越方程的求解。
一、代数方程的求解
（1）解方程x4-25x2+144=0
分析：令x2=y，将上式转化成一元二次方程y2-25y+144=0求解（2）解方程6x4-25x3+12x2+25x+6=0
分析：将原方程变形为6x-2-25x-+24=0.令x-=y，将其转化成一
元二次方程6y2-25y+24=0去求解
（3）解方程x2+x+1=
分析：由于x2+x与互为倒数
解设x2+x=y，原方程可变形为
y+1=
解这个方程，得y1=-2，y2=1。
当y=-2时，x2+x=-2。
∵δ<0，∴该方程无实根；
当y=1时，x2+x=1，
∴x=
经检验，x=是原方程的根，所以原方程的根是x=。
（4）解方程--=0
分析：求根式方程的关键是去根号，将上式移项--方程两边同时平方得： =2，再次平方将其转化为一元二次方程6x2-x-5=0去求解。
二、超越方程的求解
（1）解方程6x+4x=9x
分析：将方程的两端分别除以9x，得x+x=1，令x=y，将其转化成一元二次方程x2+y-1=0求解。
（2）解方程log16-3x（x-2）=log82
分析：因为log82=，故有（16-3x）=x-2，从而可将其转化成一元二次方程x2-x-12=0去求解。
（3）解方程sin（2x）-12（sinx-cosx）+12=0
分析：一般的说，凡是可以求解的三角方程，总是通过恒等变形将原方程的求解转化为最简单三角方程的求解。
具体到此题，令sinx-conx=t，于是又t2=1-sin2x，从而可将原方程转化为
t2+12t-13=0去求解。
最后，又将所得sinx-cosx=1转化成最简三角方程sin（2x）=0去求解。
三、方程组的求解
（1）解方程组x+y+z=0............（1）x2+y2-z2=20 (2)
x4+y4-z4=560 (3)
分析：求解各种特殊类型的代数方程组的基本途径是将高次方程转化为低次方程，将多元方程化归为一元方程。
解：由（1）得x+y=-z （4）
由（2）得x2+y2=（x+y）2-2xy=20+z4，再利用（4）式，得
z2-2xy=20+z2，即xy=-10
由（3）得x4+y4=（x2+y2）2-2（xy）2=560+z4
于是有（20+z2）2-200=560+z4，解得z=±3
因此，将原方程组转化成两个二元二次方程组
x+y=3xy=-10与x+y=-3xy=-10
又将此两方程组转化成一元二次方程
t2+3t-10=0与t2-3t-10=0去求解
（2）解方程组sin2x+sin2y=x-y=
分析：先将原方程组转化为与它同解的方程组
cos（x+y）cos（x-y）=x-y=
再将它转化为代数方程去求解
x+y=（2n+1）πx-y=
参考文献：
1. 王子兴《数学方法论》中南工业大学出版社，1997.7
2.殷堰工.《数学解题策略精编》上海科技教育出版社， 1999.7
3. 黄文斐，徐凡等.《思维点拔与能力训练》辽宁大学出版社2000.7。