转化与化归思想的应用题型一 特殊与一般的转化例1 已知函数f (x )＝a xa x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 答案 992解析思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________.答案 (1)45 (2)0题型二，常量与变量的转化例2， 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.变式练习：设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞)探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.题型三函数、方程、不等式之间的转化例3 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 2 014 解析(2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014.(1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)(－∞，－8]2．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A )①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题型四 数与形的转化例4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎨⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，所以0<a <1或a >9.例5. 求函数的最值。

u t t =++-246分析：由于等号右端根号内同为的一次式，故作简单换元，无法t t t m 24+= 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设，，则x t y t u x y =+=-=+246且，x y x y 2221604022+=≤≤≤≤()所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在u y x u x y =-++=22216 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）u min =22相切于第一象限时，u 取最大值y x ux y x ux u =-++=⎧⎨⎩⇒-+-=2222216342160解，得±，取∆=0==u u 2626 ∴u max =26题型五 正难则反的转化例3 已知三条抛物线：y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一条与x 轴相交，求实数a 的取值范围． 解 令y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a )2－4(3－4a )<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝(2a )2＋8a <0，解得－32<a <－1，∴三条抛物线都不与x 轴相交时a 的取值范围是－32<a <1.故满足题意的a 的取值范围是a ≤－32或a ≥－1.思维升华 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围． 解 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．、押题精练1．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2] 答案 A解析 由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |＝x 2＋y 2可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO ＝2－1，P ′O ＝2＋1，故选A.2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2 答案 A解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10等于( )A.49B.47C.463D.563 答案 C解析 由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得1S n －1S n －1＝－1，∴1S n ＝92＋(n －1)×(－1)，∴S n ＝211－2n，∴a 10＝S 10－S 9＝463.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0)，log 2x (x >0)，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________．答案 2解析 令t ＝f (x )，则该函数的零点即f (t )－1＝0的解．先解方程f (t )＝1.①当t ≤0时，方程为2t ＝1，解得t ＝0；②当t >0时，方程为log 2t ＝1，解得t ＝2；所以方程f (t )＝1的解为0或2. 再解方程f (x )＝0和f (x )＝2.③当x ≤0时，因为2x >0，故由2x ＝2，得x ＝1；④当x >0时，由log 2x ＝0，得x ＝1；由log 2x ＝2，得x ＝4； 故函数y ＝f (f (x ))－1的零点为1,4，共2个．5．已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．解 ∵f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数，∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0.令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1，不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立． ∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件，即m >4－2 2.10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________. 答案45。