Duffing 方程及其在信号检测中的应用
李禹锋
（西安交通大学电力设备电气绝缘国家重点实验室，陕西西安710049）
摘要：在工程领域中，在噪声环境下对信号进行检测一直都是研究的重点课题。
混沌理论表明一类混沌系统在一定条件下对小信号具有参数敏感性，同时对噪声具有免疫力，因此使得它在信号检测中非常具有发展潜力。
为此，本文分析了Duffing 方程的动力学特性，研究了利用Duffing 方程来进行微弱信号检测的原理和过程，并在Matlab 平台下进行了仿真实验。
结果表明，可以利用Duffing 方程在噪声背景下进行信号的检测。
关键词：混沌理论；信号检测； Duffing 方程；仿真研究
1 引言
在噪声背景中检测微弱的有用信号是工程应用中的一个重要内容，前人已经开展了大量的研究工作。
传统的基于线性理论的信号检测方法由于对噪声背景下的输出信噪比难以提高而存在一定局限性，尤其在对强噪声背景下的微弱信号检测更是受到了限制。
然而很多研究证明，利用“混沌振子对周期小信号具有敏感依赖性，而对噪声具有免疫性”的特点，从噪声背景中提取微弱的周期信号是一种行之有效的方法，引起了人们极大的兴趣[1]。
在众多的信号检测中，正弦或余弦信号的检测占有极其重要的地位，在许多领域中有着极其广泛的应用。
本文采用余弦小信号作为检测对象，在Matlab 平台下，对Duffing 方程及其在信号检测中的应用进行了初步探讨。
2 基于Duffing 方程的信号检测
2.1 Duffing 方程的数学模型及分析
Duffing 方程已被证明是混沌系统，大量学者对其进行过许多研究，研究它的动力学行为可以揭示系统的各种性质。
Duffing 系统所描述的非线性动力学系统表现出丰富的非线性动力学特性，目前已成为研究混沌现象的常用模型[2]。
霍尔姆斯型Duffing 方程为：
232()()cos()d x dx k x t x t t dt dt
γω+-+=(1) 式中，cos()t γ为周期策动力；k 为阻尼比；-x (t )+x 3(t )为非线性恢复力[3]。
其状态方程为：
dx y dt
=(2) 3cos()dy ky x x t dt
γω=-+-+(3) 在k 固定的情况下，系统状态随γ的变化出现变化，具体分析如下：
(1)当策动力γ为0时，计算得到相平面中结点为(0,0)和鞍点为(±1,0)。
系统
在无策动力驱动作用下，周期性地在两个鞍点之一周围运动，围绕哪个鞍点运动则依赖于初始条件。
由如图1可见，(x,y)初值分别设置是(1,1)和(2,2)时，(x,y)最终分别停在(1,0)和(-1,0)不同的鞍点上。
0.50.60.70.80.91 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5-0.8-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) 初始条件为(1,1)
-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.5-2.5-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
(b) 初始条件为(2,2)
图1 γ=0时的相轨迹
(2)当策动力γ不为0时，当γ处于一定范围内时，系统都处于混沌状态，如图2所示。
随着γ的增大，当大于某一阀值γd 时，系统进入大尺度的周期运
动，如图3所示。
对应的相轨迹将中点、鞍点统统围住，此时系统的 Poincare 映射为不动点。
-2-1.5-1-0.500.51 1.52
-1.5-1
-0.5
0.5
1
1.5
图2 混沌状态
-2-1.5-1-0.500.51 1.52
-2-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
图3 大尺度的周期运动 2.2正弦信号的检测原理
对于一个非线性动力学系统, 其参数的摄动有时会引起周期解发生本质的变化。
因此，将待测信号作为Duffing 方程周期策动力的摄动, 噪声虽然强烈, 但对系统状态的改变无影响, 而一旦带有特定的信号, 即使幅值较小, 也会使系统
发生相变。
计算机通过辨识系统状态, 可清楚地检测出特定信号是否存在。
假设待检信号形式为s = hcos(t)+n(t)，h 为有用信号的幅值，n(t)为均值为 0 的噪声。
在对待测信号进行检测之前，调节策动力信号幅度值γ，使γ=γd ，这时系统处于混沌临界状态。
然后输入待测信号s ，经过暂态过程以后，系统稳定在某一运动形式上。
通过用眼观察得到系统的状态，由此可判断输入是纯粹噪声还是稍带有周期信号。
若输入信号中含有待测周期信号,则系统由混沌状态迅速转入周期状态；若输入的待测信号中只有噪声，则系统状态不改变。
因此，由输入待测信号前后系统状态是否变化可以判断出输入待检测信号中是否含有待测周期信号。
当我们己经检测出输入信号中含有待测周期信号，需要进一步检测该信号的幅值时，采用以下方法：
逐渐减小策动力信号幅度值γ，直到系统恢复到混沌临界状态。
我们设这时的策动力幅值为γ1，则待测信号中正弦信号幅值h 为h=γd - γ1，该式中γd 为该系统处于临界状态的策动力幅值，即混沌阀值。
3 MATLAB 仿真实现与分析
3.1仿真模型的建立
前面已经介绍过，霍尔姆斯型Duffing 方程的一般形式为：
232()()cos()d x dx k x t x t t dt dt
γω+-+=(4) 当ω=1时，加入被检测的强噪声背景下微弱周期小信号s ，Duffing 方程可写为如下形式：
dx y dt
=(5) 3()cos()()dy ky x x h t n t dt
γω=-+-+++(6) 令阻尼比k =0.5，当ω=1时，系统的Matlab 仿真框图如下：
图4 当ω=1时，Duffing 混沌系统仿真模型
在仿真模型中，Sine Wave 用来产生系统的周期策动力信号，SineWave1 和Random Number 用来产生含有周期信号与噪声的待测信号，Fcn 为系统的非 线性项，Gain 为放大器，Integrator 和Integrator1为积分器，XYGraph 为系统的 相轨迹显示器，Duffing 方程中的参数γ和h ，即为Sine Wave 和Sine Wave1中产生的信号的幅值。
根据文献[4]，这里取γd =0.8245。
3.2 仿真实验结果分析
3.2.1只加入纯噪声信号
首先，在γ=0.5的情况下，在系统中只加入白噪声信号（方差为0.1），得到加入噪声前后系统的相图。
-2-1.5-1-0.500.51 1.52-1.5-1
-0.5
0.5
1
1.5
(a)未加入噪声
-2-1.5-1-0.500.51 1.52-1.5-1
-0.5
0.5
1
1.5
(b)加入噪声
图5γ=0.5时白噪声信号对系统相图的影响
从图5可以看出，噪声虽然进入到系统中，但系统仍然保持混沌的状态，由此证明了 Duffing 振子对于噪声具有免疫性。
在一定范围内，即使噪声再强，也不能使系统从混沌状态跃迁至周期状态。
其差异仅仅在于：有噪声作用后，轨道变得比较粗糙。
3.2.2加入待检信号与噪声混合后的信号
首先，在γ=0.8245的情况下，在系统中加入含有白噪声信号（方差为0.1）的周期信号0.003cos(t)，得到加入信号后的系统的相图，如图6所示。
-2-1.5-1-0.500.51 1.52-1.5-1
-0.5
0.5
1
1.5
图6加入含有白噪声信号的周期信号时系统的相图
由图6可知，当加入含有白噪声信号的周期信号时，系统进入大尺度的周期运动，说明此时信号中含有周期信号。
为了检测信号中余弦信号幅值的大小，将γ逐渐减小，当系统的相图由大尺度的周期运动变成混沌临界状态时，由2.2可知，此时信号幅值h 为h=γd - γ1。
本文通过实验测得，h=0.0026。
误差产生的原因是难以确定精确的γd 。
4结论
通过对Duffing 方程及检测原理的介绍．以及Matlab 仿真实验和分析，表明基于Duffing 方程设计的余弦信号检测系统能够实现在噪声背景下检测出微弱的周期小信号。
参考文献
[1]袁野.基于混沌理论的微弱信号检测与勘探地震学中同相轴的恢复[D].吉林大学，2006年.
[2] 刘崇新.非线性电路理论及应用.西安交通大学出版社，2007年.
[3]徐艳春，杨春玲.基于混沌振子的微弱信号检测技术研究[J].电气应用，2008，27(8)：38-41.
[4]聂春燕.基于混沌相平面变化的弱信号检测方法研究[J].长春大学学报，1999，
9(4)：1-4.。