drp rp tp 0
dr
r
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在塑性区的边界上，除满足平衡方程外，
还需满足塑性条件 ，应用式（3.4.5）
的塑性判据， rp ccot 1sin tp ccot 1sin
将式（3.4.5）中的σtp用σrp表示，代 入上述平衡方程，经整理并积分后，得
12 ssi i nnln rClnr(pcco )t
（c、值）也发生变化。
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限定讨论问题的条件
侧压力系数＝1时，圆形坑道围岩的弹
塑性二次应力场和位移场的解析公式。 此时，荷载和洞室都呈轴对称分布，塑
性区的范围也是圆形的，而且围岩中不 产生拉应力。 因此，要讨论的只有进入塑性状态的一 种可能性。
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需要解决的问题是
的塑性条件，可得塑性区半径R0与pa的关
系： pa ccot[z (1sin)
2sin
ccosccot]
r0 R0
1sin
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表达了在其围岩岩性特征参数已知时，径向支
护阻力pa与塑性区大小之间的关系。 该式说明，随着pa的增加，塑性区域相应减小。
讨论1：径向支护阻力pa的存在
tr zz((1 1 ssii n n )) c cc co o s s 2R 0 zR 0
该应力式与围岩的初应力状态σz、围岩 本身的物理力学性质c、φ有关，而与支
护阻力pa和开挖半径r0无关。
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（3）塑性区半径与支护阻力的关系
将r＝ R0代入式（3.4.10），求出R0处的 应力，该应力应满足式（3.4.13）所示
限制了塑性区域的发展。
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讨论2：若坑道开挖后不修筑衬砌，即径向
支护阻力pa＝0时 的极端情况下塑性区是
最大的，式（3.4.16）（包含开挖半径和
围岩参数的表达式）；
1s in
R0r0(1sin)cccoco tt z2sin
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化。
设以岩体的残余粘聚力cr和残余内摩擦 角 r表示改变后的岩体特性，则（3.4.3）
式可写成式（3.4.6） 的形式。
tr rrr Rcr 0
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2. 轴对称条件下围岩应力的弹 塑性分析
塑性区内单元体的受力状态
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（1）塑性区内的应力场
塑性区内任一点的应力分量需满足平衡 条件。对于轴对称问题，不考虑体积力， 某一单元体极坐标平衡方程式 （3.4.7） ：
3.4 围岩应力和位移的弹塑性分析
当围岩的二次应力状态可能超过围岩的抗压强 度或是局部的剪应力超过岩体的抗剪强度，从 而使该部分的岩体进入塑性状态。
此时坑道或发生脆性破坏，或在坑道围岩的某 一区域内形成塑性应力区，发生塑性剪切滑移 或塑性流动，并迫使塑性变形的围岩向坑道内 滑移。
塑性区的围岩因变得松弛，其物理力学性质
式（3.4.5） rp ccot 1sin tp ccot 1sin
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当 ＝1时，坑道周边的
t 2z r 0
将该值代入式（3.4.3），即可得出隧道周 边的岩体是否进入塑性状态的判据为:
2z RC
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实际上岩石在开挖后由于爆破、应力重
分布等影响已被破坏，其c、值皆有变
塑性判据，且满足应力和位移的协调性
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1. 围岩的塑性判据
摩尔-库仑条件作为塑性判据 ：
其塑性条件是，可以在-平面上表示
成一条直线，称为剪切强度线，它对σ 轴的斜率为tgφ，在τ轴上的截距为c。
摩尔-库仑条件的几何意义是：若岩体某 截面上作用的法向应力和剪应力所绘成 的应力圆与剪切强度线相切，则岩体将 沿该平面发生滑移。
确定形成塑性变形的塑性判据或破坏准则； 确定塑性区的应力、应变状态； 确定塑性区范围； 弹性区内的应力。
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分析问题的思路
①围岩的塑性判据； ②塑性区内围岩的应力应满足塑性判据和
平衡方程； ③弹性区内围岩的应力应满足弹性条件和
平衡方程； ④在弹塑性边界上即满足弹性条件又满足
令塑性区半径为R0，且塑性区与弹性区边界上 应力协调，当r＝ R0 时，对于弹性区，r≥ R0 ，相当于“开挖半径”为R0 ，其周边作用 有“支护阻力” σR0时，围岩内的应力及变形。
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弹性区内的应力状态（注意边界条件）
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可参照式（3.3.11），弹性区内的应力
re
z 1
R02 r2
R0
R02 r2
te
z 1
R02 r2
R0
R02
ห้องสมุดไป่ตู้
r2
对比式（3.3.11）
r t
zz((1122))ppaa22
将两式相加消去σR0，得 re ＋ te ＝ 2 z
并应满足边界处塑性判据（式3.4.4）：
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即求得弹、塑性区边界上（ r＝ R0 ） 的应力表达式。（式3.4.13）：
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当有支护时，支护与围岩边界上（r = r0）的应
力即为支护阻力，即 rp pa ，则求出积分
常数 C；代入式（3.4.8）及式（3.4.9），并整
理之，即得塑性区的应力
2sin
rp
pa
ccot rr0
1sin
ccot
2sin
tp
pa
ccot 11ssiinnrr0
1sin
ccot
式3.4.10
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由式（3.4.10）中可知，
围岩塑性区内的应力值与初始应力状态 无关，
仅与围岩的物理力学性质、开挖半径及 支护提供的阻力有关。
为什么？
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（2）弹性区内的应力场
在塑性区域以外的弹性区域内，其应力状态是 由初始应力状态及塑性区边界上提供的径向应 力σR0 决定的。
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图3.4.1 材料强度包络线及应力圆
最大主应力 最小主应力 Rc的表达式
Rc
2cos 1sin
c
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塑性判据：式（3.4.3）或式（3.4.4）
tp ( 1 si) nr p ( 1 si) n 2 c co 0 s
tp rp R c 0 , 1 1 s s ii,n n R c 1 2 c s o ic n s