2010年初三中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的答案．．．．．．．．．涂黑．） 1．下列运算结果等于1的是 （ ▲ ）A ．－2＋1B ．－12C ．－(－1)D ． ―||―12．下列运算正确的是 （ ▲ ）A ．(a 3)2＝a 5B ．(－2x 2)3＝－8x 6C ．a 3·(－a )2＝－a 5D ． (－x )2÷x ＝－x3．在下列一元二次方程中，两实根之和为5的方程是 （ ▲ ）A ．x 2－7x ＋5＝0B ．x 2＋5x －3＝0C ．x 2－5x ＋8＝0D ．x 2－5x －2＝04．为迎接2010年上海世博会，有15位同学参加世博知识竞赛预赛，他们的分数互不相同．若取前8位同学进入决赛，某人知道了自己的分数后，还需知道这15位同学的分数的哪个统计量，就能判断他能不能进入决赛 （ ▲ ） A ．中位数 B ．众数 C ．最高分数 D ．平均数5．下列调查适合作普查的是 （ ▲ ）A ．了解在校中学生的主要娱乐方式B ．了解无锡市居民对废电池的处理情况C ．调查太湖流域的水污染情况D ．对甲型H1N1流感患者的同班同学进行医学检查 6．如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的俯视图为 （ ▲ ）7．下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的是 （ ▲ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．两组对边分别相等 8．对于锐角α，sin A 的值不可能．．．为 （ ▲ ） A ．22 B ．33 C ．55 D ．3559．用一个半径为10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ▲ ） A ．53cmB ．52cmC ．5cmD ．7.5cm10、如图，直线l 交y 轴于点C ，与双曲线y ＝k x（k ＜0）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），Q 为线段BC 上的点（不与B 、C 重合），过点A 、P 、Q 分别向x 轴作垂线，垂足分别为D 、E 、F ，连结OA 、OP 、OQ ，设△AO D 的面积为S 1、△POE 的面积为S 2、△QOF 的面积为S 3，则有（ ▲ ） A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 3＜S 1＜S 2C ．S 3＜S 2＜S 1D ．S 1、S 2、S 3的大小关系无法确定（第6题） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．） 11．25的算术平方根是 ▲ ．12．2010年3月28日，山西省王家岭煤矿发生透水事故．这一事件牵动了全国人民的心，为尽快救出被困人员，各地紧急调拨救援物资，几天内调拨物资金额就达到1亿元，这个数据用科学记数法可表示为 ▲ 元． 13．函数y ＝x －1中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．14．分解因式：a 3－16a ＝ ▲ ．15．某品牌饮料搞促销，在每箱（24瓶装）中随机放入4瓶内盖上有“再来一瓶” 的饮料，若从该箱饮料中任取1瓶，则中奖的概率为 ▲ ． 16．在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠A ＝45°，则∠B ＝ ▲ 度．17．若两个等边三角形的边长分别为a 与2a ，则它们的面积之比为 ▲ ． 18．如图，在△ABC 中，AB ＝5cm ，∠A ＝45°，∠C ＝30°，⊙O 为△ABC 的外接圆，P 为 ⌒BC 上任一点，则四边形OABP 的周长的最大值是 ▲ cm ．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题有2小题，每小题5分，共10分．）⑴计算：(－1)2010＋(3－π)0＋||1－2sin60°；⑵解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋3≥x ，1－3(x －1)＜8－x .20．（本题满分6分）先化简⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋2－12－x ÷xx ＋2，然后从2，－2，0，3这4个数中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．21．（本题满分7分） 如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，且AF ＝CE ．请你猜想线段BE 与DF 之间的关系，并加以证明．22．（本题满分7分）如图，在正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．⑴平移△ABC ，使得点A 移到点A 1的位置，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1；⑵把△A 1B 1C 1绕点A 1按顺时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2；⑶如果网格中小正方形的边长为1，求点C 经过⑴、⑵变换的路径总长．A B C EF（第18题）23．（本题满分8分）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．⑴从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ▲ ； ⑵从中随机抽出两张牌，牌面数字的和是5的概率是 ▲ ； ⑶先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字．请用画树状图法或列表法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 24．（本题满分8分）北京时间2010年4月14日7时49分，青海玉树发生7.1级地震，牵动着亿万人的心，明星也不例外．在4月20日晚中央电视台“情系玉树，大爱无疆——抗震救灾大型募捐活动特别节目”上，众多明星纷纷献出了自己的爱心．下面为部分明星的个人捐款金额（单位：万元）：20，20，30，10，20，30，20，10，10，2，20，30，20，100，20，100，200，10，20，5．⑴请用列表法把上述捐款金额统计出来；⑵在条形统计图、扇形统计图、折线统计图中，_ ▲ 统计图最不适合描述这组数据；（直接填写答案，不必画图）⑶请分别计算这组数据的平均数、众数与中位数，并指出平均数与众数这两个统计量中，哪个量更能反映这部分明星的捐款情况． 25．（本题满分8分）某中学团委组织了“争做阳光少年”有奖征文活动，并设立若干奖项．学校计划派人根据设奖情况去购买A 、B 、C 三种奖品共50件，其中B 型奖品件数比A 型奖品件数的2倍少10件，C 型奖品所花费用不超过B 型奖品所花费用的1.5倍．各种奖品的单价如右表所示．如果计划A 型奖品买x 件，买50件奖品的总费用是w 元． ⑴试求w 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；⑵请你设计一种方案，使得购买这三种奖品所花的总费用最少，并求出最少费用． 26．（本题满分8分）在某段限速公路BC 上，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／小时，并在另外一条高等级公路l 的收费站A 处设置了一个监测点．已知两条公路互相垂直，且在测速点A 测得A 到BC的距离为100米，两条公路的交点O 位于A 的南偏西32°方向上，点B 位于A 的南偏西77°方向上，点C 位于A 的南偏东28°方向上．（注：本题中，两条公路均视为直线．）⑴一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？ ⑵若一辆大货车在限速路上由B 处向C 行驶，一辆小汽车在高等级公路l 上由A 处沿AO 方向行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离．（结果保留根号）A 型奖品B 型奖品C 型奖品单价（元） 12 10 5 Ol BA 北 西东 南27．（本题满分11分）如图，抛物线y＝ax2－4ax＋c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点D（4，－3）在抛物线上，且四边形ABDC的面积为18．⑴求抛物线的函数关系式；⑵若正比例函数y＝kx的图象将四边形ABDC的面积分为1∶2的两部分，求k的值；⑶将△AOC沿x轴翻折得到△AOC′，问：是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOC′放大为原来的两倍后得到△EFG（即△EFG∽△AOC′，且相似比为2），使得点E、G恰好在抛物线上？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．Array28．（本题满分11分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长恰好为方程x2－14x＋a＝0的两根，且AC－BC＝2，D为AB的中点．⑴求a的值．．⑵动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒……若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．初三中考二模数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．）1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．）11．5 12．1×10813．x ≥1 14．a (a ＋4)(a －4)15．16 16．67.5 17．1∶4 18．15＋5 2三、解答题（本大题共10小题，共计84分．） 19．（本题有2小题，每小题5分，共10分．）⑴(－1)2010＋(3－π)0＋||1－2sin60°；＝1＋1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2×32 …………………3分 ＝1＋1＋3－1 …………………………4分 ＝1＋ 3 …………………………………5分⑵⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋3≥x ， ①1－3(x －1)＜8－x .②由①得x ≤3，……2分 由②得x ＞－2，……4分 ∴－2＜x ≤3. ……5分 20．（本题满分6分）⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2－12－x ÷x x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1x －2÷x x ＋2 …………1分 ＝2x (x ＋2)(x －2)÷xx ＋2……………2分 ＝2x (x ＋2)(x －2)·x ＋2x ……………3分 ＝2x －2……………………………4分 当x ＝3时，原式＝2x －2＝23－2＝2(3＋2)(3－2)(3＋2)……5分 ＝－23－4．…………6分21．（本题满分7分）猜想：BE ∥DF ，且BE ＝DF . ……………………2分 理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC . ………………3分 ∴∠DAF ＝∠BCE . …………………4分 又∵AF ＝CE ，∴△ADF ≌△CBE .……………………5分 ∴BE ＝DF .……………………………6分ABCE F∠AFD ＝∠CEB .∴BE ∥DF . ……………………………7分（注：若数量关系和位置关系只猜想证明其中一个，扣2分，得5分） 22．（本题满分7分）⑴图略，…………2分 ⑵图略，…………4分⑶变换（1）中的路径长为5，……5分 变换（2）中的路径长为5π，……6分 ∴点C 经过（1）、（2）变换的路径总长为5＋5π．……7分23．（本题满分8分）⑴12； …………2分 ⑵13； ……………4分⑶共有16中可能，其中符合条件的有4种，P （组成的两位数恰好是4的倍数）＝416＝14． (8)分 24．（本题满分8分） ⑴如右表（2分） ⑵折线； ………4分⑶平均数为34.85万元，……5分（取近似值为35不扣分） 众数为20万元，……6分 中位数为20万元. ……7分本题中，平均数与众数这两个统计量中，众数更能反映这部分明星的捐款情况．……8分 25．（本题满分8分）⑴由题意得A 型奖品x 件，B 型奖品(2x －10)件，C 型奖品(60－3x )件.………………1分 w ＝12x ＋10(2x －10)＋5(60－3x ) …………2分 ＝17x ＋200. ……………………3分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，2x －10＞0，60－3x ＞0，5(60－3x )≤1.5×10(2x －10).......4分 解得10≤x ＜20. (5)分⑵在w ＝17x ＋200中，∵17＞0，∴w 随x 的增大而减小. ……………………………6分 ∴当x ＝10时，w 取得最小值，最小值为370. ……………………………………………8分 即购买A 型奖品10件，B 型奖品10件，C 型奖品30件，可使购买这三种奖品所花的总费用最少，最少费用为370元． 26．（本题满分8分）1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4 十位数字 个位数字 …………………………6分⑴由题意知∠BAO ＝77°－32°＝45°，∠CAO ＝32°＋28°＝60°. ……………………1分 在Rt △AOB 中，OB ＝OA ＝100米，在Rt △AOC 中，OC ＝3OA ＝1003米. ………2分∴BC ＝(100＋1003)米. ……………………………………………………………………3分 实际速度v ＝(100＋1003)米15秒≈18.2米/秒＝65.52千米/小时＞60千米/小时，∴超速 (4)分⑵∵两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍， ∴当大货车由B 开出x 米时，小汽车由A 开出了2x 米，两车之间的距离S ＝(100－x )2＋(100－2x )2＝5x 2－600x ＋20000＝5(x －60)2＋2000 ∴当x ＝60时，S 取得最小值，为205米． 27．（本题满分11分）⑴y ＝ax 2－4ax ＋c ＝a (x －2)2－4a ＋c ，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2.…………1分∵点D （4，－3）在抛物线上，∴由对称性知C （0，－3）. ………………………2分 ∴四边形ABCD 为梯形.由四边形ABDC 的面积为18、CD ＝4，OC ＝3得AB ＝8，∴A （－2，0）. ……3分由A （－2，0）、C （0，－3）得y ＝14x 2－x －3. ……………………………………4分⑵易得S △OBD ＝12S 四边形ABDC ，∴只可能出现两种情形：①直线y ＝kx 与边BD 相交于点E ，且S △OBE ＝13S 四边形ABDC ；②直线y ＝kx 与边CD 相交于点F ，且S 四边形OBDF ＝23S 四边形ABDC . …5分若为情形①，则可得k ＝－37；…………6分 若为情形②，则可得k ＝－32. (7)分⑶翻折后点C ′（0，3），由图形的位似及相似比为2，可得： ①若为同向放大，则E （3，－154）、G （7，94）；………………8分②若为反向放大，则E （7，94）、G （3，－154）.………………9分若为情形①，则P （－7，154）；…………10分 若为情形②，则P （1，34）.…………11分28．（本题满分11分）⑴∵AC 、BC 的长为方程x 2－14x ＋a ＝0的两根，∴AC ＋BC ＝14.……………………1分 又∵AC －BC ＝2，∴AC ＝8，BC ＝6，……2分 ∴a ＝8×6＝48. ……………………3分⑵∵∠ACB ＝90°，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10.又∵D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5. ………………………………………………………4分①当0＜t ≤1时，S ＝125t 2－845t ＋24；…………………………………………………………5分当1＜t ≤52时，S ＝－125t ＋12；…………………………………………………………………6分当52＜t ≤3时，S ＝－125t ＋12；…………………………………………………………………7分 当3＜t ＜4时，S ＝125t 2－1085t ＋48. (8)分②在整个运动过程中，只可能∠PQC ＝90°，∴∠PQB ＝90°.当P 在AD 上时，若∠PQC ＝90°，则求得t ＝52秒，…………………………………………9分当P 在DC 上时，若∠PQC ＝90°，则求得t ＝52秒或103秒.…………………………………10分∴当t ＝52秒或103秒时，△PCQ 为直角三角形.………………………………………………11分。