数据的数字特征
【课标要求】 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的
特点。 2.要重视数据的计算，体会统计思想。
【核心扫描】 1.各种数字特征的意义以及计算。(重点) 2.学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义
和作用，会由方差求标准差。(重点、难点)
自学导引
1. 平均数、中位数、众数、极差 (1)平均数：样本数据 x1，x2，…，xn 的平均数是－x ＝n1(x1＋ x2＋…＋xn)； (2)中位数：将一组数据按__大小__顺序排列，处__在___中间位___置____ __的_ 数__(或__中间__两___个___数__ 的平均_数_ _____)叫做这组数据的中位数； (3)众数：在一组数据中， 出现次___数___最___多_____的数据叫做这组数据的众数； (4)极差：一组数据中_最___大___值与最___小___值___的差称为极差。
分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别
为
( )。
79 844467 93
A.84.4，84
B.84，1.6
C.85，1.6
D.85，4
[思路探索] 利用茎叶图列出数据，根据平均数、方差的公式求解。
解析 这组数据去掉一个最高分和一个最低分后为 84，84，
84，86，87，平均数为－x ＝84＋84＋854＋86＋87＝85，方差
则这个样本的方差是
( )。
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 x2－5x＋4＝0 的两根是 x1＝1，x2＝4. 当 a＝1 时，a，3，5，7 的平均数是 4；当 a＝4 时，a，3， 5，7 的平均数不是 1.
故 a＝1，b＝4，则方差 s2＝14×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2 ＋(7－4)2]＝5.
2. (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小。标准差、方差越大，
数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小。 (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)。 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没 有离散性。 (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以 虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问 题时，一般多采用标准差。
(2)标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即：
想一想：一组数据的众数可以是一个或几个，也可以没有，那么中位数是否 也具有相同的结论？
提示 中位数在一组数据中一定存在且是唯一的。
名师点睛
1. 平均数、中位数、众数的异同
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量； (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起 平均数的变动； (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能 出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时， 可用中位数描述其集中趋势； (4)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中 有某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题； (5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。 方差与标准差的区别与联系
－
100)2
＋
(98
－
100)2
＋
(100
－
100)2
＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(cm2)，
s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2甲>s2乙，所 以乙机床加工零件的质量更稳定．
审题指导:平均数与方差都是重要的数学特征数，是对总 体的一种简明的描述。它们所反映的情况有着重要的实际 意义，所以，不仅需要掌握其计算公式和方法，还要学会 通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据。
[解题流程] 数据 → 画茎叶图 → 求平均数、方差等 → 结论
[规范解答](1)茎叶图如下图所示
(1)平均数－x 1＝17(4＋8＋11＋4＋11＋11＋11)＝670， －x 2＝17(11＋11＋5＋11＋9＋8＋6)＝671；
(2)两者的众数都是11； (3)甲的中位数是11；乙的中位数是9。
规律方法 理解并掌握平均数、众数、中位数的概念，平 均数、众数、中位数可能相同，也可能不同，注意某几个 数据的平均数就是这些数的算术平均数，样本平均数代表 了数据更多的信息，在实际问题中计算时，应按照实际要 求进行计算。
试一试：已知一组数据从大到小为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位 数为5，求这组数据的众数。
提示 由4＋2 x＝5 得 x＝6，故数字 6 出现了两次，所以众数 为 6. 2. 方差与标准差
(1)方差：一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的 平均数，叫做这组数据方差，表示为
答案 C
题型三 平均数、方差的应用
【例3】(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们培训期间参加的
若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82，91，79，78，95，88，83，84 乙：92，95，80，75，83，80，90，85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学角度看，你认为应派哪位学生 参加数学竞赛，请说明理由。
甲
乙
9 875
8 4 3 280035
4分
5 19025
(2)因为－x 甲＝18(82＋91＋79＋78＋95＋88＋83＋84) ＝85(分)， －x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85(分)，
所以－x 甲＝－x 乙；
6分
又 s2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(82－85)2＋(83－85)2＋(84－ 85)2＋(88－85)2＋(91－85)2＋(95－85)2]＝30.5(分 2)， 8 分
＋
9.4
＋
9.6
＋
9.5)
＝
9.5(分)．在这组数据中，9.5 出现了 2 次，出现的次数最多，
所以 6 位评委打分的众数是 9.5 分，将这组数据按照从小到
大的顺序排列后，位于最中间的两个数都是 9.5，所以 6 位
评委打分的中位数是 9.5 分．
题型二 方差、标准差的计算
【例2】2009年底CCTV举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的
[正解] (1)同错解。 (2)由于该单位员工月工资的中位数和众数与平均数比较接近，所以考虑把月 工资的平均数1 320元作为月工资的代表，这样以该单位月平均工资1 320元与 同类单位的工资待遇作比较即可。
平均数是将所有的数据都考虑进去得到 的特征数，它是反映数据集中趋势最常用的量。 中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动 较大时，常用中位数表示数据的集中趋势。而众 数求法较简便，也经常被用到。考查一组数据的 特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑，不 明确各概念的特点就会产生应用错误。
3. 极差与方差、标准差的关系
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述。其中极差是数据组的 最大值与最小值的差，它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据 中的极端值非常敏感。方差与标准差则反映一组数据围绕平均数波动的大小， 为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常采用标准差。
题型一 求一组数据的平均数、中位数和众数
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定。 解 (1)－x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(cm)，
－x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(cm)，
s
2
甲
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
[错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为510×(5×800＋ 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
(2)用该单位的最高工资与同类单位工资待遇比较即可。
在研究实际问题时，根据实际要解决的问题与 平均数、中位数、众数的特点分别作以比较，应用相关知 识求出有关量。
【例1】 2010年青年歌手大奖赛民族唱法组中，6位评委现场给每位歌手打
分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余分数的平均数作为歌手的成绩， 已知6位评委给某位歌手的打分是：
9.2 9.4 9.6 9.8 9.5 求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数。
解
这
位
歌
手
的
得
分
为
－x
＝
1 4
(9.5
s2
＝
1 5[(84
－
85)2
＋
(84
－
85)2＋
(84
－
85)2
＋
(86
－
85)2
＋
(87
－
85)2]＝1.6，故选 C.
答案 C
规律方法 (1)求样本数据 x1，x2，…，xn 的标准差的计算步骤． ①求样本数据的平均数－x ； ②求每个样本数据与样本平均数－x 的差：(xi－－x )，其中 i＝1，2，…，n； ③求出(2)中(xi－－x )的平方，其中 i＝1，2，…，n； ④求出(3)中 n 个平方数的平均数，即为样本方差；
误区警示 对样本特征理解不透，造成应用错误
【示例】某单位员工的月工资情况如下(单位：元)：