抽象函数的周期与对称轴一. 内容：抽象函数的周期与对称轴二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。

难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。

三. 具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。

2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+-∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x +=证：要证原结论成立，只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(b a +为对称中心。

证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'【典型例题】[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。

（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

（2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。

（3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。

（4）若)(x f 为单调增函数，则)(x a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的为？解：（2）（3）[例2] 若函数3)()(a x x f +=R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。

解：R x ∈∀，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a∴ 3)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3-=--=-+f f [例3] 设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式。

解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4=T设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f∴ 31≤<x 时52)(+-=x x f[例4] 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2)(x x f =则（1）)(x f 是周期函数且周期为2（2）当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -= （3）43)5,2004(=-f 其中正确的是？解：（1）（2）（3）[例5] 已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时，c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ， 若)3(b f m =，)2(c f n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？解：由已知得4=T ，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴∴ 42-=-b ∴8=b由13)4(-=-f ∴134644-=-c ∴ 3=c ∴)38(f m =，)23(f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >> [例6] 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=求)35(πf 的值。

解：233sin )3()3()32()32()35(===-==+=πππππππf f f f f [例7] 设)(x f y =定义在R 上，R n m ∈∀，有)()()(n f m f n m f ⋅=+且当0>x 时，1)(0<<x f（1）求证：1)0(=f 且当0<x 时，1)(>x f（2）求证：)(x f 在R 上递减。

解： （1）在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令1=m ，0=n 得)0()1()1(f f f = ∵ 1)1(0<<f ∴ 1)0(=f设0<x ，则0>-x 令x m =，x n -=代入条件式 有)()()0(x f x f f -=而1)0(=f ∴ 1)(1)(>-=x f x f（2）设21x x <则012>-x x ∴ 1)(012<-<x x f令1x m =，2x n m =+则12x x n -=代入条件式得)()()(1212x x f x f x f -=即1)()(012<<x f x f ∴ )()(12x f x f < ∴ )(x f 在R 上递减【模拟试题】一. 选择1. 已知)(x f 满足)()3(x f x f =+，R x ∈且)(x f 是奇函数，若2)1(=f 则=)2000(f （ B ） A. 2 B. 2- C. 23+ D. 23-2. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()4(x f x f =+对任何实数均成立，当20≤≤x 时，x x f =)(，当400398≤≤x 时，=)(x f （ C ）A. 400-xB. 398-xC. x -400D. x -3983. 若函数)sin(3)(ϕω+=x x f ，R x ∈∀都有)6()6(x f x f -=+ππ则)6(πf 等于（ D ）A. 0B. 3C. 3-D. 3或3-4. 函数)223cos(x y -=π是（ C ）A. 周期为π2的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为π的奇函数D. 周期为π4的奇函数5. )2sin(2)(θ+=x x f 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ C ） A. 22ππθ+=k B. ππθ+=k 2 C. 2ππθ+=k D. ππθ+=k6. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f -=则)(x f 可以是（ D ） A. x 2sin B. x cos C.x sin D. x sin 7. )cos(3)sin(θθ-++=x x y 为偶函数的充要条件是（ B ）A. 32ππθ-=kB. 6ππθ-=kC. 62ππθ±=kD. 6ππθ+=k8. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ B ） A. 0.5 B. 5.0- C. 1.5 D. 5.1-9. 设c bx x x f ++=2)(，t x ∈∀有)2()2(t f t f -=+那么（ A ） A. )4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C. )1()4()2(f f f <<D. )1()2()4(f f f <<10. )(x f y =定义在R 上，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（D ）A. 0=y 对称B. 0=x 对称C. 1=y 对称D. 1=x 对称二. 填空1. )(x f 是R 上的奇函数，且)()2(x f x f =+π，则)3()2()(πππf f f ++)2003(πf ++ = 0 。

2. 函数)32sin(π+=x y 的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。

12π=x3. )(x f 为奇函数，且当0>x 时，2)(-=x x x f 则当0<x 时=)(x f 。

2+x x4. 偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则（1）)1()43(2+->-a a f f （2）)1()43(2+-≥-a a f f（3）)1()43(2+-<-a a f f （4）)1()43(2+-≤-a a f f中正确的是 （2） 。

三. 解答题1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于1=x 对称，1x ∀、]21,0[2∈x 都有)()()(2121x f x f x x f =+且0)1(>=a f（1）求)21(f 、)41(f （2）证明：)(x f 是周期函数 解：（1）∵ ]21,0[,21∈∀x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ∴ 0)2()2()(≥⋅=x f x f x f ]1,0[∈x ∵ 2)]21([)21()21()2121()1(f f f f f =⋅=+=∵ 21)21(a f =，2)]41([)4141()21(f f f =+=∴ 41)41(a f = （2）由已知)(x f 关于1=x 对称 ∴ )11()(x f x f -+=即)2()(x f x f -=，R x ∈ 又由)(x f 是偶函数知)()(x f x f =-，R x ∈ ∴ )2()(x f x f -=-，R x ∈将上式中x -以x 代换得)2()(+=x f x f ∴ )(x f 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期2. 如果函数)(x f y =的图象关于a x =和)(b a b x <=都对称，证明这个函数满足)(])(2[x f x b a f =+-证：∵ )(x f 关于a x =和b x =对称∴ )2()(x a f x f -=，)2()(x b f x f -=∴ )2()2(x b f x a f -=-令A x b =-2，则A b a x a +-=-)(22 ∴ )(])(2[A f A b a f =+-即)(])(2[x f x b a f =+-3. 已知c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)1()1(t f t f -=+，比较)21(f 与)2(f 的大小。