高中数学专题训练（教师版）—函数的奇偶性和周期性一、选择题1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )A ．y ＝e x －e －xB ．y ＝lg 1＋x 1－xC ．y ＝cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 D2．(2011·山东临沂)设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( )A ．f (x )f (－x )是奇函数B ．f (x )|f (－x )|是奇函数C ．f (x )－f (－x )是偶函数D ．f (x )＋f (－x )是偶函数答案 D3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．4．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案 A解析 由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．5．(2010·山东卷)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3答案 D解析 令x ≤0，则－x ≥0，所以f (－x )＝2－x －2x ＋b ，又因为f (x )在R 上是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，即b ＝－1，f (x )＝－2－x ＋2x ＋1，所以f (－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.6．(2011·北京海淀区)定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且f (x ＋5)＝f (x )，若f (2)>1，f (3)＝a ，则( )A ．a <－3B ．a >3C ．a <－1D ．a >1答案 C解析 ∵f (x ＋5)＝f (x )，∴f (3)＝f (－2＋5)＝f (－2)，又∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，又f (2)>1，∴a <－1，选择C.7．(2010·新课标全国卷)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0. ∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)3－8，x ≥0－(x －2)3－8，x <0， ⎩⎨⎧ x ≥0(x －2)3－8>0或⎩⎨⎧x <0－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.二、填空题8．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝________.答案 －1解析 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a .∵f (x )为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.9．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2011)＝－17，则f (2011)＝________.答案 31解析 f (2011)＝a ·20115＋b ·20113＋c ·2011＋7f (－2011)＝a (－2011)5＋b (－2011)3＋c (－2011)＋7∴f (2011)＋f (－2011)＝14，∴f (2011)＝14＋17＝31.10．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象关于________点对称．答案(0,1)解析 f (x )的图象是由y ＝x 3＋sin x 的图象向上平移一个单位得到的．11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝________.答案 0解析 依题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，因此有f (19)＝f (4×5－1)＝f (－1)＝f (1)，且f (－1＋2)＝－f (－1)，即f (1)＝－f (1)，f (1)＝0，因此f (19)＝0.12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4) 解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数∴y ＝f (x )关于x ＝2对称又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)∴f (512)＜f (－1)＜f (4)． 13．(2011·山东潍坊)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)，其中正确的序号是________．答案 ①②⑤解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的函数，①正确，f (x )关于直线x ＝1对称，②正确，f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．三、解答题14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )、g (x )的解析式．答案 f (x )＝x 2－2，g (x )＝x解析 ∵f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2.①∴f (－x )＋g (－x )＝(－x )2＋(－x )－2.又∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (x )－g (x )＝x 2－x －2.②由①②解得f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数f (x )在[0,1)上单调递减，并满足f (2－x )＝f (x )，若方程f (x )＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．答案 2解析 由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )是奇函数，则f (x )在(－1,1)上单调递减，根据函数f (x )的单调性，方程f (x )＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f (x )的对称性，方程f (x )＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x ＝1对称，故两根之和等于2.16．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．答案 (1)a ＝2，b ＝1 (2)k <－13解析 (Ⅰ)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1 ∴f (x )＝1－2x a ＋2x ＋1 又由f (1)＝－f (－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. (Ⅱ)解法一 由(Ⅰ)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13解法二 由(Ⅰ)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1.又由题设条件得： 1－2t 2－2t 2＋2t 2－2t ＋1＋1－22t 2－k2＋22t 2－k ＋1<0， 即：(22t 2－k ＋1＋2)(1－2t 2－2t )＋(2t 2－2t ＋1＋2)(1－22t 2－k )<0，整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故：3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－131．(2010·上海春季高考)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.答案 02．(2010·江苏卷)设函数f (x )＝x (e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案 －1解析 令g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋ae －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋ae －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.3．(2011·《高考调研》原创题)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且{x |f (x )＞0}＝{x |1＜x ＜3}，则f (π)＋f (－2)与0的大小关系是( )A ．f (π)＋f (－2)＞0B ．f (π)＋f (－2)＝0C ．f (π)＋f (－2)＜0D ．不确定答案 C解析 由已知得f (π)<0，f (－2)＝－f (2)＜0，因此f (π)＋f (－2)＜0.4．如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 B解析 先考查函数f (x )在[－7，－3]上的最值，由已知，当3≤x ≤7时，f (x )≥5，则当－7≤x ≤－3时，f (－x )＝－f (x )≤－5即f (x )在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f (x )在[－7，－3]上的单调性，设－7≤x 1<x 2≤－3.则3≤－x 2<－x 1≤7，由已知－f (x 2)＝f (－x 2)<f (－x 1)＝－f (x 1)，从而f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在[－7，－3]上是单调递增的．5．(08·全国卷Ⅰ)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为奇函数，则不等式化为xf (x )<0 法一：(图象法)由，可得－1<x <0或0<x <1时，x ·f (x )<0.法二：(特值法)取f (x )＝x －1x，则x 2－1<0且x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0. 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (－1<x ≤0)－1 (0<x ≤1)，则f (3)＝________. 解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，则f (x )的周期为2，f (3)＝f (1)＝－1.7．(2011·深圳)设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2011(x )＝( ) A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x答案 C解析 由题得f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝x －1x ＋1，f 4(x )＝f (x －1x ＋1)＝x ，f 5(x )＝1＋x 1－x＝f 1(x )，其周期为4，所以f 2011(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1. 1．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x ) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x ) ⇒f (x )＝f (x ＋10)∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0, f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2005]上有402个解，在[－2005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2005,2005]上有802个解．。