a b
f f dy dy) dy及dy高阶项） ]dx y y
b a
J [df dy及dy高阶项） ]dx
取线性主部
dJ dfdx
a
b
k d J d a fdx 函数的变分与积分运算可以交换. k
b
§i2 变分法9
三. 泛函极值与驻值
1、函数的极值 如果函数y(x) 在x＝x0的邻近任一点上的值都不大于（不 小于）y(x0)，即
函数变化的线性部分。
y f ( x)
x x dx
1 y f ( x dx) f ( x) f ( x)dx f ( x)dx 2 o(dx3 ) 2!
一阶微分：dy f ( x)dx
二阶微分：dy f ( x)dx 2
§i2 变分法4
2、曲线的邻域
sij,k
——27个独立变量的集合用三个下标表示
§i1 张量3
应力张量
sij
s11 s12 s13 s xx xy s 21 s 22 s 23 yx s yy s 31 s 32 s 33 zx zy
xz yz s zz
变分法的基本问题 在满足约束条件的容许函数中，求能使泛函取极值的自变 函数y0(x) 。 泛函J[y(x)] 在y＝y0(x) 处达到极值的必要条件为一阶变 分等于0(驻值）
i=1,2,3 j=1,2,3
s z 2e z
§i1 张量10
（4）边界条件
应力边界条件
f x s x l yx m zx n f y xy l s y m zy n f z xz l yz m s z n
位移边界条件
设(n1 , n2 , n3 ) (l , m, n)
1 0 i j i j
克罗内克尔（Kronecker Delta）记号d ij
显然
d 11 d 11 d 13 1 0 0 d ij d 21 d 22 d 23 0 1 0 d 31 d 32 d 33 0 0 1
克罗内克尔记号是二阶张量 d ii d 11 d 22 d 33 3 运算规律
xy
u v y x
xz
yz s zz xz Fz 0 z x y
yz
u w z x v w z y
s ij,i F j 0( j 1,2,3)
j:自由标。
1 e ij (ui , j u j ,i ) 2
自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数
§i1 张量6
偏导数的下标记法
缩写张量对坐标xi偏导数的表达式 逗号约定 ： 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量对xi求偏导数。
逗号后面紧跟2个下标ij时，表示某物理量对xi、xj求混合偏导数。
( ),
ui ,
i
( ) xi
( ),
e ij x k
i=1,2,3 j=1,2,3
§i1 张量9
（3）物理方程
1 e x [s x (s y s z )] E
2(1 ) xy xy E
1 e y [s y (s x s z )] xz 2(1 ) xz E E 1 e z [s z (s x s y )] yz 2(1 ) yz E E
(dx) (dy )
2
x1
1 [ y( x)]2 dx
y1(x)
L[ y ( x)]
B A
x1
y2(x)
x
曲线的长度取决于曲线方程y(x),即 L依赖于自变函数y(x),
x2
§i2 变分法3
二、 函数的微分和泛函的变分 1、函数的微分
自变量x 在区域内一点处的邻域内发生一个的改变，引起
1 e ij s ij s kkd ij E E
s kk s x s y s z
s x 2e x
s y 2e y
yz yz
zx zx
xy xy
s ij e kkd ij 2e ij
数J与之对应，那么，J就称为依赖于y(x)的泛函。记为: J=J[y(x)]
y(x)为自变函数。一个泛函定义了一个函数空间到实数空间的映
射，它是函数的函数。
实数空间 函数空间
§i2 变分法2
泛函的实例
已知平面上2点A(x1,y1)，B(x2,y2),求连接A和B两点曲线
的长度。
L
B
y
2 x2
A
f i s ij n j
i=1,2,3
ui u
§i2 变分法1
泛函、变分与变分法
一、函数与泛函 1、函数： y 是x 的函数，是指对于定义在某一实数域上的自变量x的 每一个值，就有一个实数y (因变量）与之对应。y=f(x) 2、泛函：
如果对某一类函数{ y(x) } 中的每一个函数y(x),有一个实
1 xy 2
e yy e m
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2
e zz
em
应变球张量
应变偏张量
§i1 张量5
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次， 则对此下标从1到3求和。
aii a11 a22 a33
aijbij a1 j b1 j a2 j b2 j a3 j b3 j (a11b11 a12b12 a13b13 ) (a21b21 a22b22 a23b23 ) (a31b31 a32b32 a33b33 )
s ij s ji
1 1 s m (s x s y s z ) s kk 3 3
sij
s m 0 0 0
sm
0
0 s xx s m 0 yx sm zx
xy
s yy s m zy s zz
xz yz
f f df dy dy y y
高阶变分：
对于复合函数 F ( x, y, y, y ( n) )
F F(n ) (n ) dF dy dy (n ) dy y y y
d 2 f d (df )
§i2 变分法8
6、泛函的变分
把复合函数f（x,y,y’)在其定义域内积分，定义了一个依赖
(2)
§i2 变分法5
3、函数的变分
y(x)和y1(x) 一阶导数连续， y1 ( x) y( x) e
dy y1 ( x) y( x) 为y(x)的变分。
δy是同一自变量x处相邻2条曲线间的 函数值之差。 注意：
y1(x) δy dx dy y(x)
B
( x) y( x) dy (dy) y1
y( x) y( x0 ) 0
则称函数y(x) 在x＝x0点处达到极大值（极小值）。函数极
值的必要条件为：
y( x) 0
充分条件
＜ 0，最大值 y( x) 0 y( x) ＞0，最小值
§i2 变分法10
2、泛函的极值
求连接AB连点最短的曲线方程
L
B
y y(x)
曲线y(x) 的邻域是指在整个区间[a, b]内满足不等式：
y1 ( x) y( x) e
的所有曲线。
(1)
如果仅满足(1) 式，称曲线y1(x)与曲线y(x) 有零级ε-接近度。 若同时还满足式(2)，则有一级ε-接近度。还可以有更高的 接近度。
( x) y( x) e y1
sm
应力球张量
应力偏张量
§i1 张量4
应变张量
eij
e11 e12 e 21 e 22 e 31 e 32 e xx e13 1 e 23 yx 2 e 33 1 2 zx 1 xy 2
e yy
一般张量——曲线坐标系定义
§i1 张量2
三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相 关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量u，v，w 缩写记为ui（i=1, 2, 3） 表示为u1, u2, u3 i——下标
9个独立变量的集合，两个下标来表示
sij和eij ——9个应力分量或应变分量
目录
附录1 张量基础
附录2 泛函与变分法概要
§i1 张量1
张量基础
张量特征
笛卡儿张量下标
求和定约 偏导数下标记法
§i1 张量1
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征
——整体与描述坐标系无关 分量需要通过适当的坐标系定义
笛卡儿（Descartes）张量定义
ij
2 ( ) x i x j
s ij x k
kl
j
u i x j u i x j x k
e ij , k
e ij ,
s ij , k
e ij
u i , ik
kl
x k xl
s ij ,

s ij x k xl
§i1 张量7
特殊的张量符号
d ij
ai bi a1b1 a2b2 a3b3
哑标： 出现两次的下标——求和后消失 自由标：非重复下标
xi cij y j
xi ci1y1 ci 2y 2 ci3y 3
x1 c11 y1 c12 y2 c13 y3 x2 c21 y1 c22 y2 c23 y3 x3 c31 y1 c32 y2 c33 y3