f f f f ( x ) , ,..., xn x1 x2
2 2
(1.1.1)
2
f f f x 2 x x ... x x 1 1 2 1 n Df ( x ) 2 2 f 2 f f ... 2 x x x x xn n 1 n 2
( y )' [m( x) y ( x)]' m' ( x) y ' ( x) ( y ' )
(1.3.1)
如果自变函数 w( x, y ) 是个多元函数，那么求偏导数和求变分也可以交换次序, 就是说
( w) ( wx ) x
(1.3.2)
(w) w , ( ) ,
C {z ( x, y ) ( x, y ) }
泛函
是定义在区域 上连续函数的集合，那么下式就定义了一个
J [ z ] z 2 (x, y )dxdy

如果
C { y ( x), z ( x) y, z C1[a, b]}
是定义在区间 [ [ a, b] 上的一阶连续可微函数对的
1.4 泛函的变分

2 2 2 x y z
2 2 2
(1.3.3)
i
j k x y z
(1.3.4)
对于一个足够光滑的函数，如果我们在某一点 x 附近作泰勒展开，
1 f ( x x) f ( x) f '( x)x 2! f "( x)x o(| x |2 )
b ，始终成立
J [af bg ] aJ [ f ] bJ [ g ]
那么称泛函 J [] 为定义域上的线性泛函。
1.3 自变函数的变分
定义 1.2 在同一泛函定义域上的两个函数 y ( x) 、m( x) ， 若彼此任意接近， 那么 m( x) 与
y ( x) 之差 y ( x) m( x) y ( x) 称为函数 y ( x) 的变分。
如果可以展开为
1 J L[ y, y ] 2! Q[ y, y ] o(|| y ||2 )
(1.4.1)
其中 L[ y, y ] 是关于 y 的线性泛函，也就是说 C1 , C 2 R
L[ y, C1y1 C 2y 2 ] C1 L[ y, y1 ] C 2 L[ y, y 2 ]
x1
x0
1 ( y ' ') 2 dx
(1.1.4)
当 0 , y y ( x) 时 L( ) 取到极小值，也就是说
dL( ) | 0 0 d
把(1.1.4)代入(1.1.5), 展开后有
x1 dL( ) ( y ' ') ' | 0 dx | 0 x 0 d 1 ( y ' ') 2
此外，在等周问题中泛函(1.1.31)


A[ x, y ]
中的定义域为
1 ( xy ' yx ')ds 2
C x, y x( s ), y ( s ) C1 (0, l ), x(0) x(l ), y (0) y (l )


象短程线问题中的(1.1.26) 、等周问题中的(1.1.30) 、最优控制问题中的(1.1.32)，一般 不被视为泛函定义域中对函数的限制，而被认为是一种外加的约束，这样的约束称为条件。 以上定义还可以推广到依赖于多元函数或多个函数的泛函。举两个例子。
x2
x1
1 y ' z ' dx
2 2
(1.1.16)
因此，短程线问题所对应的变分问题为：在连接 A
( x1 , y1 , z1 ) 和 B ( x2 , y2 , z2 ) 而且满足
( x, y, z ) 0 的光滑曲线 y y ( x) ， z z ( x) 中，找到其中的一条，使得(1.1.16)中的泛函
那么其增量的线性部分
df f '( x)x
称为函数的一阶微分，而
d 2 f f "( x)x 2
称为函数的两阶微分。其中 df 是 x 的线性函数，而 d f 是 x 的两次函数。 对于任意一个泛函 J [ y ] , 函数变分所引起的泛函增加量为
2
J J [ y y ] J [ y ]
集合，那么下式就定义了一个泛函
J [ f , g ] [ f 2 ( x) g 2 ( x)]dx
a
b
当然
J [ y ( x)] y ( x0 ) 也可视为一种泛函；不过，以后提到的泛函主要是指具有上述积
分形式的泛函。 线性泛函 对于泛函 J [] ， 如果对于泛函定义域中任意两个函数 f 和 g 以及任意两个实数 a 和
(1.1.10)
dx 2 dy 2 1 ( y ') 2 ds ds dt dx v 2 gy 2 gy 2 gy
因此，重物沿该曲线从 A 点滑到 B 点所需要的总时间为
(1.1.11)
T [ y ] dt
x1
1 ( y ') 2 2 gy
x0dxΒιβλιοθήκη (1.1.12)x x( s ), y y ( s )
(1.1.17)
参数 s 可以理解为曲线从起点的长度。 如果曲线的长度为 l ,那么 s [0, l ] 。 由于曲线是封闭， 所以有边界条件
x(0) x(l ), y (0) y (l )
而该曲线的长度为
(1.1.18)
l
l
0
( x ') 2 ( y ') 2 ds
y1 2 C (1 cos )
(1.1.13
( x1 , y1 , z1 ) 和 ( x2 , y2 , z2 ) ，连接该两点的曲线方程为
(1.1.14)
y y ( x), z z ( x)
它们满足
( x, y , z ) 0
那么该曲线的长度为
(1.1.15)
L[ y, z ]
(1.1.9)
图 1.2 最速降线问题 我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以 A 为坐标原点，水平为 x 轴，向下为 y 轴。
( x , y ) (0, 0) , B 点坐标 ( x1 , y1 ) 。曲线上任意一点 P 曲线的方程为 y y ( x) ， A 点坐标 0 0
时的速度为
v
ds 2 gy dt
(1.1.19)
该曲线所围成的面积为(根据 Green 公式)
A[ x, y ] dxdy
1 2
1 2
( xdy ydx)
(1.1.20)
( xy ' yx ')ds
因此, 等周问题所对应的变分问题可以描述为: 在所有满足 x(0) x(l ), y (0) y (l ) 以 及约束条件
y* y ( x)
另有一任意的连续可导函数 ( x) ， ( x) 满足两端固定的边界条件
(1.1.2)
( x0 ) ( x1 ) 0
显然 y y ( x) ( x) 依旧是过固定两点 A, B 的连续曲线，其对应的长度为
(1.1.3)
L( )
函数在某一点有极值的必要条件是
f f f f , ,..., 0 xn x1 x2
但是， 我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲， 就是函数的函数，详细见后面)。 例 1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题
T
图 1.1 最短线问题 假设经过 A, B 两点距离最短的曲线方程为
其中 x R 为状态向量,
n
(1.1.21)
x (t0 ) 为初始状态, x (t f ) 为终止状态, u R m 为输入向量。要求
寻找合适的 u(t ) g ( x , t ) ，使得
J L[ x (t ), u(t ), t ]dt min
t0
tf
(1.1.22)
其中 J 是一个性能泛函。 和上面几个问题不同的，这是一个带微分约束(1.1.21)的泛函极值 问题.
第 1 章 泛函和变分
1.1 引言
以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题 : 一个足够光滑的连续函数
y f ( x1 , x2 ,..., xn ) ，其 在区域 R n 内任 何一点 x ( x1 , x2 ,..., xn )T 都可 以作以 下的
Taylor 展开
T T 2 f ( x x ) f ( x ) x T f ( x ) 1 2 x Df ( x ) x o(|| x || ) T
l
l
0
( x ') 2 ( y ') 2 ds
的曲线中 , 找到其中一根使得 (1.1.20) 中 A[ x, y ] 取极大
值。显然，等周变分问题是泛函的条件极值问题，其约束条件是个积分等式。 例 1.5 最优控制问题 状态方程为
(t ) f [ x (t ), u(t ), t ], t [t0 , t f ] x
T [ y ] 我们也称之为泛函。该曲线参数形式为 x1 2 C ( sin ),
例 1.3 短程线问题 短程线问题可以描述为：给定一个光滑曲面 ( x, y, z ) 0 ，在该曲面上有两个固定 A 和 B，要求在曲面上找到一根连接该两点的最短曲线。 记 A 和 B 的坐标分别为
简单地讲，泛函就是以函数集合为定义域的实值映射。 泛函的定义域是指泛函定义中的函数集合。如例 1.2 中最速降线中的泛函(1.1.12)