������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������
其中，������������������ = 2 ������������,������ + ������������,������ , ������������������ = ������������ , in ������; ������������ = ������������ , on ������������ .
用方程(6.1.10)式，试探函数用分片线性函数，可得有限元方程，这与Ritz法相
同。具体如下：
令：������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, 则有 ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)
Ritz法的可取函数是������ 0 类，即函数本身连续即可，但直接用(b)式，则需������ 1 类
函数，因������������������,������ 中包含位移的二阶导数。为使本方法也用������ 0 类函数，可用分部
积分，在(b)式中： ������������������,������ ������������ ������������ −
������ ������������
������������������ ������������ ������������ ������������ =
������
������������������,������ ������������ ������������ −
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ + ������0 =
������������
������������ − ������������������ ������������ ������������ ������������ = 0, ������������ ∈ ������������ ∈ ������ ������ ; ������������ = 0, on ������������ . (b) , ℱ ∈ ������ ∗ ,
������
������������������,������ ������������������ ������������
=
������������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ ������������������ = 0, on ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������������ ������������
������������
考虑令： ℱ ������0 =
������
������������������,������ +������������ ������������ −������������������ ������������
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ +
������������
������Π = −
������
������������������,������ + ������������ ������������������ ������������ −
������ = ������1 , ������2 , ������3 ⊤ 是表面单位外法线向量，∀������������������ ∈ ������ ∈ ������ ������ ; ������ = ������, on ������������ 由������������������ 的任意性和变分学基本引理，有 ������������������,������ + ������������ = 0, ������������ = ������������������ ������������ , in ������ on ������������
������ ������������
������������ ������������������ ������������ = 0
课 程 回 顾
最小势能原理驻值条件
������������ ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(1)
上面介绍的Ritz法或有限元法是建立在总势能泛函的基础上，有时不存在与
微分方程相对应的泛函，这时求解微分方程的近似解，要借助于微分方程的 弱形式。
对于弹性力学问题的基本方程
������
������������������,������ + ������������ = 0, in ������ (a), 其弱形式 ������������ = ������������������ ������������ , on ������������
������
������������������ ������������ ������������ ������������ = −
������
������������������ ������������,������ ������������
1 =− ������ ������ + ������������,������ ������������ = − 2 ������������ ������,������ ������ 代入(b)式，有
应变余能密度：������������ ������������������ =
������������������ ������������������ 0
最小势能原理
总势能：Π ������ =
1 ������
������ ������ ������������ −
������������
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Ritz法
使一泛函取极值的函数，满足Euler方程，或者说，Euler方程的解使泛函 取驻值。如果找到一个函数使泛函近似的取驻值，则这个函数就是Euler方 程的近似解。 构造出一组完全的基函数系������1 , ������2 , … , ������������ ,这组函数定义在积分域上，则所 有可取函数是这些基函数的线性组合。 ������������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ 6.1.8 并且有 ������ ������ Π ������������ = Π ������1 , ������2 , … , ������������ = 0, ������ = 1,2, … , ������ ������������������ ������������������ 由(6.1.9)式可确定常数������������ , 可得������的近似解������������ . 应用总势能取极值求弹性力学方程近似解的方法称为Ritz法。 近似解法—有限元法 “有限元法=Ritz法+分片插值基函数”。 1 6.1.9
������
������������������ ������������������ ������������
6.1.10
(6.1.10)即为虚功原理：内力虚功等于外力虚功。虚功原理与平衡方程和力的 边界条件等价，与本构关系无关。 3
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(3)
������
=
������
������⊤ ������������������ = ������⊤ ������ ������ ������������ ������������ ������ ������
������
������⊤ ������������������������ ������
������
1 ������ ������������������,������ + ������������������,������ ������������ = 2 ������������ ������
,������
������������������ ������������������,������ ������������
������
������������������ ������������������
������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ =