第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。

§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。

如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。

(1)()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈）（3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。

此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。

例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。

内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。

由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。

例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。

例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。

内积()βα,具有下列基本性质(1)()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3)()()0,,==βθθα。

定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。

定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。

若1||=α，则称α为单位向量。

对于任一非零向量α，取||ααβ=，则β是与α线性相关的单位向量。

这种做法称为向量的单位化。

利用向量长度的概念，Cauchy-Schwarz 不等式又可以表示为()βαβα⋅≤,。

当βα,都不是零向量时，由此不等式可得()1,≤⋅βαβα。

因此，可以利用等式()βαβαϕ⋅=,cos 来定义两个非零向量βα,的夹角ϕ，且限制ϕ的取值范围为πϕ≤≤0。

定义 当()θβα=,时，称βα,是正交的，记为βα⊥。

零向量与任何向量正交。

例2－4 若βα,是两个正交向量，则有222||||||βαβα+=+一般地，如果k ααα,,,21 是k 个两两正交的向量，则有22221221||||||||k k αααααα+++=+++从定理2－1可以推出如下简单推论。

推论 设V 是内积空间，V ∈∀βα,，有(1)βαβα+≤+； (2) βαβα-≥-。

把定理2－1应用到欧氏空间nR 和例2－3中],[b a R 得不等式∑∑∑===⋅≤ni ini ini ii yxyx 12121dx x g dx f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()(222这是历史上两个著名的不等式。

§2 正交基与子空间的正交关系2.1 正交基的概念内积空间中两两正交的一组非零向量，称为正交组。

正交组是线性无关的。

定义2－3 在n 维欧氏空间中，由正交组构成的基称为正交基。

如果正交基中每个向量的长度都等于单位长度，则此正交基便称为标准正交基（或单位正交基）。

定理2－2（存在性）任一n 维欧氏空间V 都存在标准正交基。

通过施密特（Schmidt ）正交化过程，可将欧氏空间的基转化为标准正交基。

标准正交基下的内积设欧氏空间V 中的两向量在其标准正交基n ααα,,,21 的表达式分别为：n n x x x αααα+++= 2211，n n y y y αααβ+++= 2211，则有 ()n n y x y x y x +++= 2211,βα。

两组标准正交基之间的过渡矩阵是一个正交矩阵设n e e e ,,,21 及n e e e ''',,,21 是欧氏空间V 的两组标准正交基，从前一组基到后一组基的过渡矩阵为A ，即n i a nk k ki i ,,2,1,1=='∑=e e 。

则()n j i ji j i a a a a a a nk kj ki n k nt t k tj ki nt t tj nk k ki j i ,,2,1,,0,1 ),(),(),(11111=⎩⎨⎧≠=====''∑∑∑∑∑=====e e e e e e这表明E A A T=，即过渡矩阵为A 是一个正交矩阵。

2.2 正交子空间定义2－4 设21,V V 是内积空间V 的两个子空间。

如果对任意的21,V V ∈∈βα，都有()0,=βα，则称1V 与2V 是正交的，并记为21V V ⊥。

特别地，如果V 中某个向量α与子空间1V 中的每个向量都正交，则称α与1V 正交，记为1V ⊥α。

定理2－3 内积空间V 的两个正交子空间21,V V 的和21V V +是直和。

证明：如果存在21,V V ∈∈βα，使得θβα=+，则有()()()()()αααβαααβααθ,,,,,0=+=+==，所以θα=。

同理可证，θβ=。

因而零向量的表示方式是唯一的，即21V V +是直和。

定义2－5 设21,V V 是内积空间V 的两个子空间。

且满足V V V V V =+⊥2121,，则称2V 是1V 的正交补子空间，简称为正交补，记为⊥1V 。

定理2－4 n 维欧氏空间V 的任一子空间1V 都有唯一的正交补。

证明：若{}θ=1V ，则V 就是1V 的正交补。

若1V 是V 的()n m m ≤维子空间，我们取1V 的一组正交基m e e e ,,,21 ，并将其扩充为V 的一组正交基n m m e e e e e ,,,,,,121 +。

),,(12n m L V e e +=就是1V 的正交补。

唯一性。

设除2V 外，还有3V 也是1V 的正交补。

则3121V V V V V ⊕=⊕=。

令2V ∈α，则V ∈α，故存在3311,V V ∈∈αα，使得31ααα+=。

因为311,αααα⊥⊥，所以 ()()()()()1113111311,,,,,0ααααααααααα=+=+==，于是θα=1。

由此可得33V ∈=αα，即有32V V ⊆。

同理可证23V V ⊆，因此有32V V =。

□推论 n V V =+⊥11dim dim 。

§3 内积空间的同构定义1 两个内积空间V 与V '是同构的，如果V 与V '之间存在一个一一对应的映射σ，使得对任意的V ∈βα,及R k ∈均满足：(1)()()()βσασβασ+=+；(2) ()()ασασk k =；(3) ()()βασβσα,,=。

这就是说，两个内积空间认为是同构的，首先作为线性空间它们是同构的；其次，在这个同构之下向量内积是保持不变的。

定理2－5 所有的n 维欧氏空间都同构。

证明：设V 是n 维欧氏空间，n e e e ,,,21 是它的一组标准正交基。

对于任意的V n n ∈+++=e e e x ξξξ 2211，定义n R V →:σ为()()n ξξξσ,,,21 =x ，则σ是一个一一对应，且满足定义1中的条件(1)、(2)。

再证明(3)亦满足即可说明任一个n 维欧氏空间都与nR 同构。

由于同构是一种等价关系，所以所有的n 维欧氏空间都同构。

□§4 正交变换定义2－7 保持内积空间V 中向量内积不变的线性变换T ，称为V 的一个正交变换。

即对任意的V ∈βα,，都有()()βαβα,,=T T 。

定理2－6 设T 是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则下列各命题互相等价： (1) T 是正交变换；(2) T 保持向量的长度不变，即V ∈∀α，有αα=T ；(3) 若n e e e ,,,21 是V 的标准正交基，则n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基； (4) T 在任一标准正交基下矩阵是正交矩阵。

证明：(1)⇔(2)若T 是正交变换，则由()()βαβα,,=T T ，取αβ=，两边开方即可推出αα=T 。

反之，若T 保持向量的长度不变，即V ∈∀α，有()()αααααα,,===T T T ，则有()()()()βαβαβαβα++=++,,T T ，即()()()()()()βββαααβββααα,,2,,,2,++=++T T T T T T ，于是，得()()βαβα,,=T T ，即T 是正交变换。

(1)⇔(3)若T 是正交变换，则对V 的任一组标准正交基n e e e ,,,21 ，都有ij j i j i T T δ==),(),(e e e e ，n j i ,,2,1, =，因此n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基。

反之，若n e e e ,,,21 是V 的标准正交基，则n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基，则对V 中的任二向量n n x x x e e e +++= 2211α，n n y y y e e e +++= 2211β， 便有n n T x T x T x T e e e +++= 2211α，n n T y T y T y T e e e +++= 2211β， 因此()()βαβα,,2211=+++=n n y x y x y x T T ，即T 是正交变换。

(3)⇔(4)设T 在标准正交基n e e e ,,,21 下的矩阵为A ，即是说∑==nk k ki i a T 1e e ，n i ,,2,1 =。

若n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基，则作为两个标准正交基之间的过渡矩阵，A 是正交矩阵。

反之，若A 是正交矩阵，则有ij nk kj ki n t t tj n k k ki j i a a a a T T δ===∑∑∑===111),(),(e e e e ，n j i ,,2,1, =这说明n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基。

□例2－5 设T 是欧氏空间3R 的线性变换，()()()3321132321,,,,,,,R x x x x x x x x x T ∈∀=，试证明T 是正交变换。

证明：()()αααα,,=T T 即可。

例2－5 (1) 证明：V 的线性变换T 是正交变换⇔T 保持V 中任意两向量βα,的距离不变，即 βαβα-=-T T 。