第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。

定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。

§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。

称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。

例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。

例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。

证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。

例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。

例4 设A 为n 阶正定阵且,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x Ay =，则n R 是n 维欧氏空间。

证明 ,,,n x y z λ∀∈∈R R（1）T T T T (,)[](,)x y x Ay x Ay y Ax y x ==== （2）T (,)(,)x y x Ay x y λλλ==（3）T T T (,)()(,)(,)x y z x y Az x Az y Az x z y z +=+=+=+（4）因为T x Ax 正定二次型，故T (,)0x x x Ax =≥，T 0x Ax x θ=⇔=注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空间我们视为不同的。

由于经常用到复矩阵及其相关性质，故以下列出一些常用概念及性质。

矩阵共轭及共轭转置：设n n A ⨯∈C 1. ()ij m n A a ⨯= ，()ij m n A a ⨯=，称A 为A 的共轭。

2. A B A B +=+，,m n A B ⨯∈C 。

3. AB A B =，,m s s n A B ⨯⨯∈∈C C 。

4. 记TH A A =，H A 称为A 的复共轭转置矩阵，m n A ⨯∈C 。

5. TH T A A A ==，m n A ⨯∈C 。

6. H H H ()A B A B +=+，,m n A B ⨯∈C 。

7. H H ()kA kA =，k ∈C 。

8. H H H ()AB B A =，,m s s n A B ⨯⨯∈∈C C 。

9.H H ()A A =，m n A ⨯∈C 。

10. 若H A A =，则称A 为埃尔米特（Hermite ）矩阵，n n A ⨯∈C 。

11. 若H A A =-，则称A 为反埃尔米特矩阵，n n A ⨯∈C定义2 设V 是C 上的线性空间，若V y x ∈∀,有(,)x y ∈C 且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ λ∈C),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积，称定义了上述内积的有限维线性空间()V C 为复内积空间或酉空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。

例5 在n C 中定义H (,)x y x y =，则n C 是酉空间。

注：在n C （n R ）中定义的内积H (,)x y x y =（T x y ）称为标准内积。

以后若无特殊说明，n C （n R ）及其子空间的内积均采用标准内积。

例6在m n ⨯C 中对,m n A B ⨯∀∈C 定义H (,)tr()A B A B =,则m n ⨯C 为酉空间。

证明 与例2类似，请读者自证。

二、欧氏空间与酉空间的性质 定理1：设(,)x y 是酉空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈C （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈（3）1111(,)(,)mrm ri i jj i j i j i j i j x y x y λμλμ=====∑∑∑∑， 其中,i j λμ∈C ，,i j x y V ∈，1,2,,i m =，1,2,,j r =。

证明（1） (,)(,)(,)(,)x y y x y x x y λλλλ=== （2）),(),(),(),(),(),(z x y x x z x y x z y z y x +=+=+=+（3）由定理1的（2 ）得1111(,)(,)mrmri i jj i i jj i j i j x y x y λμλμ=====∑∑∑∑11(,)mri i j j i j x y λμ===∑∑11(,)mri j i j i j x y λμ===∑∑上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即 推论1设(,)x y 是欧氏空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈R （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈（3）1111(,)(,)mrm ri i jj i j i j i j i j x y x y λμλμ=====∑∑∑∑ 其中,i j x y V ∈，,i j λμ∈R ，1,2,,i m =，1,2,,j r =。

定理2 设(,)x y 是酉（欧氏）空间V 的内积，则 （1）kx k x =，k ∈C （k ∈R ）。

（2）(,)x y xy ≤，柯西—许瓦兹（Cauchy ––Schwarz ）不等式（3）x y x y +≤+ 证明 不妨设V 是酉空间。

（1）kx k x ===。

（2）y θ=时显然，不妨设y θ≠，考虑),(02y x y x y x λ-λ-=λ-≤),(),(),(),(2y y x y y x x x λ+λ-λ-=取),(),(y y x y =λ，则 2222222(,)(,)(,)0x y x y y x x yyy--+≥所以y x y x ≤),(（3） 2(,)x y x y x y +=++22(,)(,)x x y y x y =+++ 22Re(,)x x y y =++ 222(,)x x y y ≤++， 由柯西—许瓦兹不等式，即得 2x y +2222()x xy y x y ≤++=+所以 y x y x +≤+三、内积在基下的矩阵线性空间中，向量是由一个基唯一线性表示的，而内积是两个向量的运算，所以我们自然要讨论欧氏（酉）空间中内积与基的关系。

定义3：设12,,,n εεε为欧氏（酉）空间V 的基，则称n n ij a A ⨯=)(为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵，其中n j n i a j i ij 2,1,2,1),(==εε=。

定理3设12,,,n εεε为酉空间V 的基，则（1） 内积在基下的矩阵A 是埃尔米特矩阵，即H A A =。

（2）H (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈C 。

（3）n x θ∀≠∈C 均有H 0x A x >。

证明 （1） 由于ji i j j i ij a a =εε=εε=),(),(，故H A A =。

（2） 设T T 1212(,,,),(,,,)n n x x x x y y y y ==，由定理1有11(,)(,)nni i j ji j x y x y εε===∑∑11(,)nni j i j i j x y εε===∑∑H 11n ni j ij i j x y a x Ay ====∑∑（3）(x x θ≠⇒=12,,,)n x εεεθ≠，所以H (,)0x A x x x =>。

在欧氏空间中，由定理3可得类似结论。

推论2 设12,,,n εεε为欧氏空间V 的基，则（1） 内积在基下的矩阵A 是实对称阵，即T A A =。

（2）T (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈R 。

例7 3(),()[]f x g x P x ∀∈，定义2((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，则3[]P x 为欧氏空间，求内积在基21,1,(1)x x --下的矩阵。

解 21102a dx ==⎰，2120(1)0a x dx =-=⎰， 221302(1)3a x dx =-=⎰ 222202(1)3a x dx =-=⎰，23230(1)0a x dx =-=⎰243302(1)5a x dx =-=⎰因为A 是实对称阵，所以220320322035A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

定理4 设欧氏（酉）空间的内积),(y x 在两组基12,,,n εεε和12,,,nεεε'''下的矩阵分别为B A ,，且 12(,,,)(nεεε'''=12,,,)n P εεε，则H B P AP =，即B 与A 合同。

证明：设(),(,),(),(,)ij n n ij i j ij n n ij i j A a a B b b εεεε⨯⨯''==== ，12()n P p p p =，则12(,,,)(nεεε'''=12,,,)n P εεε =12(,,,)n εεε12()n p p p所以i ε'=12(,,,)n i p εεε j ε'=12(,,,)n j p εεε故由定理3有H (,)ij i j i j b p Ap εε''==所以H ()()ij n n i j n n B b p Ap ⨯⨯==H H H 11121H H H 12n nn n n p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ H 11H []n n p Ap Ap p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦H 1H 1H []n n p A p p P AP p ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦§2.2向量的正交与标准正交基一、向量的正交与标准正交基定义1 设V 为欧氏（酉）空间，,x y V ∈，如果(,)0x y =，则称向量x 与y 正交，记为x y ⊥。