习题二包括题目: P36页5(1)(4)5(4)习题三包括题目:P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14;15(1)1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14、 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。

解:已知 (1)(4,6)T x=-,由题意得121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫∇= ⎪+++-----⎝⎭∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭(1)11/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15(1)解如下15、 用DFP 方法求下列问题的极小点(1)22121212min 353x x x x x x ++++解:取 (0)(1,1)T x=,0H I =时,DFP 法的第一步与最速下降法相同2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭, (0)(1,1)T x =,(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭, (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭0110111011101T T T TH H H H H γγδδδγγγ=+- 其中,111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===111.1621 1.39451.3945 1.6734Tδδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ , 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭(1)(1)1 1.4901()0.9776d H f x -⎛⎫=-∇= ⎪⎝⎭令 (2)(1)(1)1xx d α=+ , 利用 (1)(1)()0df x d d αα+=,求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ , (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599xx δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ , (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- , 212 1.9922T H γγ=220.72830.47780.47780.3135Tδδ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T T H H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫=-∇= ⎪-⎝⎭令 (3)(2)(2)2xxdα=+ , 利用(2)(2)()0df x d d αα+=,求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭, 因为 (3)()0f x ∇=,于就是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。

习题四包括题目: P95页 3;4;8;9(1);12选做;13选做 3题解如下3、考虑问题21),(2)(min 21x x x f sx x -=∈,其中{}{}.10,1),(1),(2121222121≤≤≤≤+=x x x x x x x x S T T I(1)画出此问题的可行域与等值线的图形;(2)利用几何图形求出此问题的最优解及最优值;(3)分别对点,)1,0(,)0,0(,)1,1(,)0,1(4321TTTTx x x x -==-==指出哪些约束就是紧约束与松约束。

解:(1)如图所示,此问题的可行域就是以O 点为圆心,1为半径的圆的上半部分;等值线就是平行于直线x 2=2x 1的一系列平行线,范围在如图所示的两条虚线内。

(2)要求f 的最小值,即求出这一系列平行线中与x 2轴相交,所得截点纵坐标的最大值。

显然当直线在虚线1的位置,能取得极值。

如图求出切点⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,52P ,此点即为最优解Tx )51,52(-=*,解得最优值5-=*f(3)对于区间集S 可以简化为g 1:012221≥--x xg 2:02≥-x对于点Tx )0,1(1=,g 1与g 2均为该点处的紧约束; 对于点Tx )1,1(2-=,g 1与g 2均为该点处的松约束; 对于点Tx )0,0(3=,g 1为该点的松约束,g 2为该点的紧约束; 对于点Tx )1,0(4-=,g 1为该点的紧约束,g 2为该点的松约束。

4题解如下4、试写出下列问题的K-T 条件,并利用所得到的表达式求出它们的最优解:(1)()();12min 2221-+-x xs 、t 、 012221≥--x x (2)()();12min 2221-+-x xs 、t 、 092221≥--x x (1)解:非线性规划的K-T 条件如下:022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x λ (1)0)1(2221=--x x λ (2)0≥λ (3)再加上约束条件 012221≥--x x (4) 为求出满足(1)~(4)式的解,分情况考虑:①若(4)式等号不成立,即012221>--x x ,那么由(2)式得0=λ,将0=λ代入(1)式解得21=x ,12=x ,所得值不满足012221>--x x 的条件,故舍去。

②若(4)式等号成立,由(1)式可以解得121+=λx ,112+=λx ,代入(4)式有: 1111222=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ 解得5151--+-=或λ 因为0≥λ,所以51+-=λ,那么521=x ,512=x ,满足以上所有条件。

综上所述,所求非线性规划有唯一的K-T 点为:Tx )51,52(=* (2)解:非线性规划的K-T 条件如下:022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x λ (1)0)9(2221=--x x λ (2)0≥λ (3)再加上约束条件092221≥--x x (4) 为求出满足(1)~(4)式的解,分情况考虑:①若(4)式等号不成立,即092221>--x x ,那么由(2)式得0=λ,将0=λ代入(1)式解得21=x ,12=x ,所得值满足以上所有约束。

②若(4)式等号成立,由(1)式可以解得121+=λx ,112+=λx ,代入(4)式有: 9111222=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ 解得351±-=λ 因为0≥λ,所以所得λ值均舍去,该情况不成立。

综上所述,所求非线性规划有唯一的K-T 点为:T x )1,2(=*8题解如下 8 考虑问题Min x12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3 S 、t 、 X1+x2+x3=2 (1) -x1+2x2≤3 (2) X1,x2,x3≥0 (3)求出点(1,1,0)处的一个下降可行方向、解:首先检查在点(1,1,0)处哪些约束为有效约束。

检查易知(1),X3≥0为有效约束。

设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T 。

根据可行方向d 的定义,应存在a>0,使对∀t ∈(0,a)能有 X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T 也能满足所有有效约束:(1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2 td3≥0 经整理即为d1+d2+d3=0 d3≥0满足上述不等式组的d=(d1,d2,d3)T 均为可行方向。

现只求一个可行方向,所以任取d3=1,求解d1+d2=-d3得d1+d2=-1,可任取d1=1,d2=-2得一可行方向 d=(1,-2,1)T 考虑下降性由题可知:将目标函数化为f(x)=1/2XTQX+bTX+C 从而 ▽f=QX+b 即2101614022000312x f x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∇= +-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦⎣⎦⎣⎦▽f(1,1,0)=(-3,3,-12)因为 ▽f(1,1,0)Td=-21<0表明d=(1,-2,1)T 为原问题在x=(1,1,0)T 处的一个下降可行方向9题解如下9 用lemke 算法解下列问题: （1）min 2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2 S 、t 、 X1+x2≤2 X1+5x2≤5 X1,x2≥0 解:4224H -⎛⎫= ⎪- ⎝⎭ ,46c -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,1115A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,25b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 于就是00110015114215M - -⎡⎤⎢⎥ - -⎢⎥=⎢⎥ -⎢⎥ -2 4⎣⎦,2546q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,1212y y w v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1212u u z x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与本题相应的线性互补问题为:W-MZ=q W ≥0,Z ≥0 WTZ=0 写成表格为选择与max{-qi}=-q4=6相应的第4行第9列元素作主元进行旋转,得次碰到这一对变量,故选z4进基、在所选列中,有 Min {8/5,11/9,2/6,6/4}=2/6故选相应的第3行第8列元素作主元,再进行旋转,得由于W0仍在基变量中,故继续运算、由于这时仅有W3,Z3这一对变量全不在基中,故仍在它们之中选一变量进基,由于就是第一次从这一对变量选取,故也选Z3进基,再由Min {38/6/4,8/8,28/6/2}=8/8在上表中W0已被置换出基,即得到了相应线性互补问题的解,也就就是所求二次规划的最优解:y1=-208/93,x1=35/31,x2=24/31,u2=32/31,y2=v2=v2=u1=0,即x*=(35/31,24/31)T 12题解如下12、(1)外点法min =)(f x 2221x x + s 、t 、 11≥x 解: 定义惩罚函数 F( )(){}[]2122211,0max ,--++=x x x x σσ=2221x x + 当 11≥x()2122211-++x x x σ 当11<x用解析法求解 min F(σ,x ),有=∂∂1x F12x 当11≥x()11221x x σ+- 当11<x222x x F=∂∂ 令01=∂∂x F ,02=∂∂x F得到 =*σx ()21,x x T ⎪⎭⎫⎝⎛+=0,1σσT易见,当+∞→σ时,()0,1=→**x x σT*x 恰为所求费线性规划的最优解。