定积分的5大几何应用和4 大物理应用
上下（曲）原函横（绕X 轴旋转）面积（纵周长），
左右（曲）反函横周长（纵面积）；
两轴轮换形（心）
除外，
平移（轴）双函识减符。

一、5大几何应用
1.1 平面图形的面积应用
称为左右曲不相交图形
[]()()
d
c
S y y dy ψϕ⇒=-⎰，
称为上下曲相交图形
既然是定积分应用，当然积分方向以常数区间为准。

对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去下反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在的位置定正负。

1.2 平面曲线的弧长
1.3 旋转体积。

如果旋转轴为平行于x 或y 的直线，比
如上下曲绕x t =，如t 在两曲线的上方，则旋转的体积，则计算如下（其余类推）： 设()11y f x =为离旋转轴的近曲线，()22y f x =为离旋转轴的远曲线，则体积元及体积为： 形象记忆法：上述公式靠死记是不行的，时间长了必会混淆，但你仔细观察一下有规律： 上下曲绕x 及其平行轴和上下曲绕y 及其平行轴利用圆面积，其余情形用圆的周长。

而且上下曲，定积分方向为x ，左右曲为y ，这是定积分要求的；x V 和y V 在形式上满足“导数”关系；还有个特征就是x ，y 是交替出现的，如[]212()()b
y a
V x f x f x dx π=-⎰中y V x →，而
()()2d
x c
V y y y d y πψϕ=-⎡⎤⎣⎦⎰中
x V y →。

1.4 旋转体的侧面积（对于上下曲图形） 形象记忆法：x ，y 交替出现。

1.5 形心（重点）
质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心是重合的。

● 曲线形心（在多元函数积分应用时，还有平面和图形和空间图形的形心问题，请对照。

）
静力矩定义：
形心坐标
对质心只要在每项积分中加入线密度为()x λ即可，当()x λ=常数，即几何体均匀时， 质心与形心完全重合，上述公式通用，下同。

上述形心公式与旋转体的侧面积联系起来，便得到：
●面密度为σ的均匀平面薄板的形心（上下曲型）
对质心只要在每项积分中加入密度函数即可。

上述形心公式与旋转体的体积积联系起来，便得到：
二、4大物理应用（物理应用=几何应用+物理定理）
2.1压力或浮力问题（以球形物体受到的水压为例）
2.2引力（万有引力或电场力）问题
0,a处例如在x轴上有一根长为l，均匀质量密度为λ的木棒，中心放在原点，在y轴上()有一个单位质点，则万有引力计算如下：
0, a处又如在x轴上有一根长为l，均匀电荷密度为λ的木棒，中心放在原点，在y轴上()有一个单位电荷，则电场力计算如下：
2.3 做功问题
2.4 质心问题。