应用时间序列分析试卷
一
Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
应用时间序列分析（试卷一）
一、 填空题
1、拿到一个观察值序列之后，首先要对它的平稳性和纯随机性进行检验，这两个重要的检验称为序列的预处理。
2、白噪声序列具有性质纯随机性和方差齐性。
3、平稳AR （p ）模型的自相关系数有两个显着的性质：一是拖尾性；二是呈负指数衰减。
4、MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内，等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外。
5、AR （1）模型的平稳域是{}11<<-φφ。
AR （2）模型的平稳域是{}11,12221<±<φφφφφ且，
二、单项选择题
1、频域分析方法与时域分析方法相比（D ）
A 前者要求较强的数学基础，分析结果比较抽象，不易于进行直观解释。
B 后者要求较强的数学基础，分析结果比较抽象，不易于进行直观解释。
C 前者理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释。
D 后者理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释。
2、下列对于严平稳与宽平稳描述正确的是（D ）
A 宽平稳一定不是严平稳。
B 严平稳一定是宽平稳。
C 严平稳与宽平稳可能等价。
D 对于正态随机序列，严平稳一定是宽平稳。
3、纯随机序列的说法，错误的是（B ）
A时间序列经过预处理被识别为纯随机序列。
B纯随机序列的均值为零，方差为定值。
C在统计量的Q检验中，只要Q 时，认为该序列为纯随机序列，其
中m为延迟期数。
D不同的时间序列平稳性检验，其延迟期数要求也不同。
4、关于自相关系数的性质，下列不正确的是（D）
A. 规范性；
B. 对称性；
C. 非负定性；
D. 唯一性。
5、对矩估计的评价，不正确的是（A）
A. 估计精度好；
B. 估计思想简单直观；
C. 不需要假设总体分布；
D. 计算量小（低阶模型场合）。
6、关于ARMA模型，错误的是（C）
A ARMA模型的自相关系数偏相关系数都具有截尾性。
B ARMA模型是一个可逆的模型
C 一个自相关系数对应一个唯一可逆的MA模型。
D AR模型和MA模型都需要进行平稳性检验。
7、MA（q）模型序列的预测方差为下列哪项（B）
A、
[]2
2
,
Va()
,
l
t
l q r e l
l q
ξ
ξ
θθσ
θθσ
⎧<
⎪
=⎨
>
⎪⎩
22
1-1
22
1q
（1++...+）
（1++...+）
B、
[]2
2
,
Va()
,
l
t
l q r e l
l q
ξ
ξ
θθσ
θθσ
⎧≤
⎪
=⎨
>
⎪⎩
22
1-1
22
1q
（1++?+）
（1++?+）
C、
[]2
q
2
,
Va()
,
t
l
l q r e l
l q
ξ
ξ
θθσ
θθσ
⎧≤
⎪
=⎨
>
⎪⎩
22
1-1
22
1
（1++?+）
（1++?+）
D、
[]2
2
,
Va()
,
l
t
l q r e l
l q
ξ
ξ
θθσ
θθσ
⎧≤
⎪
=⎨
>
⎪⎩
22
1-1
22
1q-1
（1++?+）
（1++?+）
8、ARMA(p,q)模型的平稳条件是（B ）
A. 0)(=ΘB 的根都在单位圆外；
B. 0)(=ΦB 的根都在单位圆外；
C. 0)(=ΘB 的根都在单位圆内；
D. 0)(=ΦB 的根都在单位圆内。
9、利用自相关图判断一个时间序列的平稳，下列说法正确的是（A ） A 自相关系数很快衰减为零。
B 自相关系数衰减为零的速度缓慢。
C 自相关系数一直为正。
D 在相关图上，呈现明显的三角对称性。
10、利用时序图对时间序列的平稳性进行检验，下列说法正确的是（C ） A 如果时序图呈现明显的递增态势，那么这个时间序列就是平稳序列。
B 如果时序图呈现明显的周期态势，那么这个时间序列就是平稳序列。
C 如果时序图总是围绕一个常数波动，而且其波动范围有限，那么这个时间序列是平稳序列。
D 通过时序图不能够精确判断一个序列的平稳与否。
三、概念解释
1、AR 模型的定义
具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为AR （p ）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∀=≠===≠+++++=---t s Ex t
s E Var E x x x x t
s s t t t p t p t p t t t ,0,0)(,)(0)(0222110εεεσεεφεφφφφε， 2、偏自相关系数
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k 偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量121,,,+---k t t t x x x 的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后， k t x -对t x 影响的相关度量。
用数学语言描述就是
2,,,)
ˆ[()]ˆ)(ˆ[(11k t k t k t k t t t x x x x x E x E x E x x E x E k t t k t t -------=+--- ρ 3、MA 模型的定义
具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为MP （q ）
112220
()0(),()0,t t t t q t q q t t t s x E Var E s t
εμεθεθεθεθεεσεε---⎧=+----⎪≠⎨⎪===≠⎩，
4、 ARMA(p,q)模型的可逆条件：
q 阶移动平均系数多项式0)(=ΘB 的根都在单位圆外，即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定。
四、计算题
1、求平稳AR(1)模型的协方差
递推公式 0111γφγφγk k k ==-
平稳AR(1)模型的方差为 2
1201φσγε-= 协方差函数的递推公式为 21
21,11k k k εσγφφ=∀≥-
2、计算下列MA （q ）模型的可逆性条件
21211
1
16
2545)4(25
1654)3(5.0)2(2)1(------+-=+-=-=-=t t t t t t t t t t t t t t x x x x εεεεεεεεεε 解：不可逆⇒>=⇒-=-1221θεεt t t x
可逆⇒<=⇒-=-15.05.01θεεt t t x
逆函数⎩⎨⎧≥=1
,5.01k I k k
逆转形式∑∞
=-=05.0k k t k t x ε
可逆⇒<±<⇒+-=--1,125
165412221θθθεεεt t t t x 不可逆⇒>=⇒+-=--116
25162545221θεεεt t t t x 逆函数 ,1,0,2
3,0133,)1(1=⎩⎨⎧+=+=-=n n k n n k I k n k 或θ、
逆转形式∑∑∞
=--+∞=--+-=013130338.0)1(8.0)1(n n t n n n n t n
n t x x ε
3、求ARMA(1,1)模型1111---+=t t t t x x εθεφ中未知参数11,θφ的矩估计。
解：根据ARMA 模型Green 函数的递推公式，可以确定该ARMA(1,1)模型的Green 函数为：
1G 0=
,2,1,)(G 11
11k =-=-k k φθφ
推导出： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==---==--+==∑∑∑∞=+∞=+∞=01122202211111211022111212201)1)((121k k k k k k k k G G G G G γφσγσφφθθφσγσφφθθσγεεεεε 则：⎪⎩
⎪⎨⎧=-+--==1121121111101121)1)((ρθρφθθφθθφγγρ 整理方程组得:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+--+-121111*********ρρφθρφρφθ
考虑可以条件：,11<θ得到未知参数矩估计的唯一解：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧---=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---≤-+==11221221121ˆˆˆ2ˆ1,2,242,24ˆˆˆˆρφρφθρ
ρφc c c c c c c
五．证明题
1、证明AR （2）模型的平稳的充要条件为{21,φφ12<φ且}112<±φφ
2.设时间序列{}t x 来自()1,1ARMA 过程，满足 110.50.25t t t t x x εε---=-, 其中()2t ~0,WN εσ, 证明其自相关系数为 11,00.2710.52k k k k k ρρ-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩。