《时间序列分析》模拟试题《时间序列分析》课程考试卷一. 填空题(毎小题2分，共计20分)匚口 1. ARMA(p, q)模型七=0()+気…+---- 4牡g ， 其中模型参数为p, q 。
2.设时间序列{X,},则其一阶差分为▽七=科一兀_4。
3・ 设 ARMA (2, 1) ： X] = O ・5X_] + 0.4X r _2 + 吕—O ・3£_则所对应的特征方程为22-0.52-0.4 = 0O4.对于一阶自回归模型AR(1)： X, =1O+0X_+吕，其特征根为一 ° ，平稳域 是{01阀< 1}注：平稳性判别：1)特征根判别法：特征根的绝对值小于1；该題中特征根等于°,故平 稳条件为仏“ I < 1}。
(系数多项式的根在单位园外)2)平稳域判别法：AR (1)模型：'讷<1} AR (2)模型：{处01岡<1，且0±0<1}_”|vl,“±0・5<l _________ 时，模型平稳。
注：AR 模型平稳(系数多项式的根在单位园外)；MA 模型可逆(系数多项式的根在单位 园外)：& 对于二阶自回归模型AR(2)： X, =0・5X-+0・2Xz+®则模型所满足的Yule-Walker5. 设ARMA (2 J)： X r =0・5X_]+aXz+£-0・l 爲-a 满足7. 对于一阶自回归模型MA(1)： X,=£—O ・3E-「其自相关函数为a<-A <- >LnPk =1 1,&=0-0.3 , 、k=1.090Q 2方程是P\ = P3\\ < 注：1.| = ^ii k =l[55 —=r^i ■*—0”8 8 k =2415.[旷診说2Pl_Po p\p\ A…Pk-\ Pk-2Ai 如2_pk-\A-2A).Pk =工0阳2.由于AR 模型的 i故对于AR (2)有1,】 k=0进而1-02、0]Q Q +02 久-2'k>21,k=08，0.5% +0・2%2，k229.设时间序列｛X,｝为来自ARMA(p.q)模型:x 『=0|X 『_] +・・・ + § X-p +吕+&G +…畑［训)近则预测方差为—iE (£l )=O,Var (£!)=a ；,E (£l £10.对于时间序列{X,},如果)=0, S H f ,则乙〜/(d)。
注:AR IMA (p, d, q)①(Bpg = O (B>fE (s t ) = 0,Var (£, )= ,E (£,£s ) = 0,s tEx s £t =0,Vs vf\P\= 00021 +P1022 [C =0021+000211.设时间序列｛X,｝为来自GARCH （p, q ）模型，则其模型结构可写为兀=/(人兀“J ；—, ••，)+££, = 丫辰P “ 1-1J-1(10分)设时间序列｛X,｝来自A/?M4(2J)i±程，满足 (1-5+0.5B 2)%, =(1 + 0.43)勺，其中匕｝是白噪声序列，并且E （召）= OM 〃・（g t ） = b2。
（1） 判断ARMA （2,1）模型的平稳性。
（5分）1±口 1±/x = ----------- = ------特征函数为0—兀+ 0.5 = 0,特征根为 2 2 ,在单位圆，平稳也可用平稳域法见一（4）（2） 利用递推法计算前三个格林函数G （）,G r G 2。
（5分）G (> =1G ｛ =0Go-q =l_(_0・4) = l ・4G? =0G+0G°—&； =1・4一0・5 — 0 = 0・9求格林函数也可以用算子=(1 + 0.43)(1 + 3 + 0・5矿+・・・)=1 + 1・43 + 0・9庆+・・・一得一得k1 2 3 1 5 6 7 *9 10 A A-0.470. 06-0. 070. 040. 000. 01-0. 040. 06-0. 050.01三.（20分）某国1961年1月一2002年8月的16*19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N = 500）,经过计算样本其样本自相关系数（A ）及样本偏相关系数｛&&｝的前10个数值如下表1 + 0.4B1-B + O.5B 2= (1 + 0.4B )(1 +(B - 0.5B 2 J +(B - 0.5B 2 )2 + •a血-0.47 -0.21 -0. 18 -0. 10 -0. 05 0. 02 -0.01 -0. 06 0.01 0. 00（1） 利用所学知识，对｛X 」所属的模型进行初步的模型识别。
（10分）样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA （0, 1, 1）对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计。
（10分）由于 AR I MAP\ i+〃2(o , i , i )模型有i+q-1 + J1-4A * - 2A - -1 + J1 + 4x0.47 c “ i v = ----------------------- =-0.7415 -2x0.47击= 0.645X t = O.8X- + 吕一0.6$一，b ； = 0.0025其中 X^QO = 0.3,刍(x )= 0.01。
(1) 给出未来3期的预测值；(10分)X 1(x)(l) = O.8X loo -O.6^loo =0.234X 1(x)(2)= 0.8X 1(x)(l) = 0.8x0.234 = 0.1872龙 ioo (3)= O.8X loo (2)= 0.8x 0.1872 = 0.14976（2） 给出未来3期的预测值的95%的预测区间（畑75 = 1・96）。
（10分）G° = l G x =0.2 ・ G 2=0.16f 9S[M)] = £G 込由于/U)Var[e [W (\)] = 0.0025 Var[e^(2)] = 0.0026 W/r[i>100(3)] = 0.002664 G 10() (/ )不 “0.975 JU"也 0()(/)」)101 (0. 136.0. 332)102 (0.087, 0. 287)一得（20分）设｛X ｝服从ARMA （h 1）模型:p 1-0.6BX [= ----------- 1-0.8B=(1 + 0・23 + 0・16炉+・匕95%的预测区间X(=QX L其中｛£｝为白棗声序列，E(q) = O,%“(q) = b\ x r x2(x^x2)为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数0b，的极大似然估计。
ln|Q| =-ln(l-^1 2 ) +x； -2^v r v2t似然方程组n x.2— 2处t ?2q 2b；l 2 r^v K'2 _ -—22 '1 51n|Q| 1 <2°-2X.X2_2d(p b； 260*■J 十 2 U<Xf + Aj&2 _(屛-卅A u£ J 2 2 \1设时间序列｛兀｝来自ARMA^\)过程，满足兀一0・5兀“=爲一0・25吕-「其中勺〜WW(O,b2)，证明其自相关系数为(-0・ 049,0. 251)o一得(10分)设时间序列｛XJ M从AR(1)模型:一得103=(1+如+丹2+…b工G j =] + 矿 + 04 + …= r-0(20分)证明下列两题:（2） 若X 「1（0）, Y （~I （0）,且｛X 『｝和乜｝不相关，即cov （X 八岭试证明对于任意非零实数“与b,有乙=£比+坷~“0）。
（10分）所以：E （X ：）V8E （Y ；）VOO ； E （£ 卜冷;临 jy x (t,s)-y x (t + k,s+k\t^s y t + k^s + k eT兀(f,s)= y Y (t+k 9s+kyt,s,t + k,s + k eTZ, =aX t -^bX,E (Z z )= E [aX, + bX 、=的 + b^i,E (Z ： ) = E © $ x ： * & 2乙2 * 加叭 K,) M a 2E (X^ )+)+ 2^jE (X ：)E (Y ：)%",$)= E@X, +bY l -a/i,-b^iX s +bY s -“仏-也) = a 2rXt (t 9S )+b 2rYi (t 9s)+abCov{X l9Y s )+abCov(X s9Y t )="%@)+咲(心)所以/./(t 9s)=/./(t + k 9s + kyt,s,t+k,s + k G TA =5 k=0 k = \ (10 分)k>21+2+佯+…2221,0.27°・5加 G ()= l 5 =尹21七、填空题(每小题2分，共计20分)1.设时间序列{X,},当V/He^Vr = (/l,-,r;…)eF n,Vr e乙色=(易,一,兀”上尺",£(0=疗+应)，岸歹'J{XJ 为严平稳。
2.AR(p)模型为_兀"〉+0內“+…+ %%+£ ,其中自回归参数为一0°妙'…'必_。
3.ARMA(P，q)模型兀=如+必兀」+…+如一一…-空7 ,其中模型参数为p, q。
4.设时间序列{X,},则其一阶差分为一▽兀=兀一兀.] 。
5.一阶自回归模型AR(1)所对应的特征方程为入十°6.对于一阶自回归模型AR(1),其特征根为,平稳域是—01阀V1}7.对于一阶自回归模型MA(1),其自相关函数为1,<=1注: 1+W1=10,k=0\<k <qk> q& 对于二阶自回归模型AR (2): X f =£X—+0Xz+吕.其模型所满足的Yule-Walker方程是____________________________P\ = Qo0ii< \P\= P神2\ +0022 <=。
必 +皿221一02［斗対+斗，1一02 f+。
2=［行021 + 022卩_02 1_九1-01,k=0 A=—=吕-，k = l/o1-020\Pk-\ +0Pu k>2XI = 1-\ ----- p +爲 + &]£—I -------------0qE_q » 则预测方差为Var[e,（l ）] = ±G^一 f-° __________________________ 。