第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。

数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。

本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比及猜想、抽象及概括、从特殊到一般等数学思想方法。

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。

例题精讲例1、用数学归纳法证明n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明： 1当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。

2假设当n=k 时，等式成立，即k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-。

那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21121213121+++++++++=k k k k k这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n 都成立。

点评：数学归纳法是用于证明某些及自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确． 要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。

f(k)及f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将11+k 及221+k 合并的变形方式，这是在分析了f(k)及f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。

练习：1.用数学归纳法证明3k ≥n 3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C2.用数学归纳法证明412+n+3n+2能被13整除，其中n∈N证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.例2、求证：* 1115,(2,) 1236n n Nn n n+++>≥∈++．分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。

用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．证明：（1）当n=2时，右边=1111534566+++>，不等式成立．11151236k k k +++>++．则当1n k =+时，111111(1)1(1)2331323(1)1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++++=++++++-++++++>+++-++++>+++-++++=+⨯-=++所以则当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,n n N ≥∈均成立．点评：本题在由n k =到1n k =+时的推证过程中，（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n k =到1n k =+时不等式左端项数的增减情况； （2）应用了放缩技巧：111111113.313233333333331k k k k k k k k ++>++=⨯=++++++++例3、已知，*1111,23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明：*21(2,)2n nS n n N >+≥∈．证明：（1）当n=2时，22111132111234122S =+++=+>+，∴命题成立．2111112322k k k S =++++>+．则当1n k =+时，112111111123221222k k k kk S ++=++++++++++111111111111122122222221111211.22222k k k k k k k k k k k k k +++++>+++++>++++++++=++⨯=++=+所以则当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,n n N ≥∈均成立．点评：本题在由n k =到1n k =+时的推证过程中，（1）不等式左端增加了2k项，而不是只增加了“112k +”这一项，否则证题思路必然受阻； （2）应用了放缩技巧：11111111111112.2122222222kk kk k k k k ++++++++>+++=⨯=++练习：1、证明不等式：分析1、数学归纳法的基本步骤：设P(n)是关于自然数n 的命题，若1°P(n 0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n 0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标． 证明：（1）当n=1时，不等式成立． （2）假设n=k 时，不等式成立，即那么，这就是说，n=k+1时，不等式也成立． 根据（1）（2）可知不等式对n ∈N +都成立．2.求证：用数学归纳法证明2*22()n n n N +>∈． 证明：（1） 当n=1时， 12221+>，不等式成立； 当n=2时， 22222+>，不等式成立； 当n=3时， 32223+>，不等式成立．（2）假设当*(3,)n k k k N =≥∈时不等式成立，即 222k k +>． 则当1n k =+时，1222222(22)222(1)23k k k k k k ++=+->-=++--，∵3k ≥，∴223(3)(1)0k k k k --=-+≥，（*） 从而122222(1)23(1)k k k k k ++>++--≥+，∴1222(1)k k ++>+．即当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，222n n +>对一切*n N ∈都成立．点评： 因为在（*）处，当3k ≥时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移．3．求证：23m e m >，其中1m >，且m N *∈．分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明．（1）当m=2时，44232e >>⨯，不等式成立． （2）假设*(2,)m k k k N =≥∈时，有23k e k >， 则 2(1)22236k k ee e k e k +=⋅>⋅>，∵2k ≥，∴63(1)330k k k -+=->，即63(1)k k >+． 从而2(1)63(1)k ek k +>>+，即1m k =+时，亦有23me m >．由（1）和（2）知，对1,m m N *>∈都成立．证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．220122223(11)332(21)123(1211)21230m m m m m e m mC C C mm m m m m m m m m ->+->++--=++->⇒->>++->∴当1m >，且m N *∈时，23me m >．例4、（2005年江西省高考理科数学第21题第（1）小题，本小题满分12分）已知数列{}n a ,:的各项都是正数且满足.),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+证明;,21N n a a n n ∈<<+ 求数列}{n a 的通项公式a n .分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。

对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。

解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确.2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则111111,(4)(4)22k k k k k k n k a a a a a a +--=+-=---时11111112()()()()(4).22k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a -----=---+=---而1110,40,0.k k k k k k a a a a a a ----<-->∴-<又2111(4)[4(2)] 2.22k k k k a a a a +=-=--<∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立， 令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立， 所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有． （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a所以21)2()2(2--=-+n n a a2,n n b a =-令 则21222221222121111111()()()222222n nn n n n nb b b b b -+++---=-=--=-⋅==-又b n =－1，所以211(),2nn b -=- 21122()2nn n a b -=+=-即．点评：本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性．本题也可先求出第（2）问，即数列}{n a 的通项公式2112()2n n a -=-，然后利用函数211()2()2xf x -=-的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．练习：1.试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.技巧及方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c)＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k+1+c k+1＞a k ·c+c k ·a.证明：(1)设a 、b 、c为等比数列，a=qb,c=bq(q ＞0且q≠1)∴a n +c n =nnq b +b n q n =b n (nq1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b=a+c 猜想2nn c a +＞(2c a +)n (n≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，由2(a 2+c 2)＞(a+c)2，∴222)2(2c a c a +>+②设n=k时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+则当n=k+1时，41211=+++k k c a (a k+1+c k+1+a k+1+c k+1) ＞41(a k+1+c k+1+a k ·c+c k ·a )=41(a k +c k )(a+c) ＞(2c a +)k ·(2ca +)=(2c a +)k+1根据①、②可知不等式对n ＞1,n ∈N *都成立．二.基础训练 一、选择题1.已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k ≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k +9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k －(2k+7)·3k =(4k+20)·3k =36(k+5)·3k －2(k ≥2)⇒f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C二、填空题2.观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________. 解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *)112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N*) 3.已知a 1=21,a n+1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.12123452133332:,137253233333333,,,383594510555n a a a a a a a a a n ⨯====+++========+++++3.解析同理猜想73:答案、83、93、10353=n三、解答题 4.若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k时成立，即2413212111>+++++k k k2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221*********,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 所以：对于n ∈N *，且n>1时，有2413212111>+++++n n n 5.已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 及31log a b n+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2(2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］ 而31log a b n +1=log a313+n ,于是，比较S n 及31log a b n +1的大小⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )及313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*)①当n =1时，已验证(*)式成立. ②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立. 于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +16.设实数q 满足|q|＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n+1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n (n =1,2,3,…)综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q kk 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k ,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k +1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立.综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q kk 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ))24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n ---依题意知)1(24q q--＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q＜52三.巩固练习1. （06 年湖南卷. 理 .19本小题满分14分）已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明:(ⅰ)101n n a a +<<<;(ⅱ)3116n n a a +<. 证明: （I ）．先用数学归纳法证明01n a <<，ｎ＝1,2,3,… (i).当n=1时,由已知显然结论成立.(ii).假设当n=k 时结论成立,即01k a <<.因为0<x<1时'()1cos 0f x x =->,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,从而1(0)()(1),01sin11k k f f a f a +<<<<-<即.故n=k+1时,结论成立. 由(i)、(ii)可知，01n a <<对一切正整数都成立. 又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<，综上所述101n n a a +<<<．（II ）．设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由（I ）知，当01x <<时，sin x x <，从而222'22()cos 12sin 2()0.22222x x x x x g x x =-+=-+>-+=所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,所以当01x <<时，g (x)>0成立.于是31()0,sin 06n n n n g a a a a >-+>即． 故3116n n a a +<． 点评：不等式的问题常及函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识.2. （ 05 年辽宁卷.19本小题满分12分） 已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-= （Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ； （Ⅱ）证明.332<n S分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力 （Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n n n b（1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤所以，当n=k+1时，不等也成立。