选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景：关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10. 验证n 取 时命题 ( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题 (归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题 ！(结论）要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .☆ 数学归纳法的应用：例1. 用数学归纳法证明不等式sin sin n n θθ≤.例2已知x > -1，且x ≠0，n ∈N*，n ≥2．求证：(1+x )n >1+nx .例3 证明: 如果(n n 为正整数)个正数12,,,n a a a 的乘积121n a a a = , 那么它们的和12n a a a n +++ ≥.例4 证明:222111112(,2).23≥n N n nn+++⋯+<-∈例5.当2n ≥时,求证:1++++>选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式（1） 姓名 1、已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的值为( ) A.30B.26C.36D.6 2、.观察下列式子：222221311511171,1,1222332344+<++<+++<…则可归纳出____ _____.3、已知112a =, 133n n n a a a +=+, 则2345,,,a a a a 的值分别为_____ ____，由此猜想n a =_________.4、用数学归纳法证明: 1*5231()n n n A n N -=+⋅+∈能被8整除.5、用数学归纳法证明 n n n nn 212111211214131211+++++=--++-+-6、.用数学归纳法证明412+n+3n+2能被13整除，其中n ∈N7、求证：1115(2,)1236n n N n n n*+++>≥∈++8、已知，1111,23n S n N n*=++++∈ ， 用数学归纳法证明：21(2,)2n n S n n N *>+≥∈9、.求证：用数学归纳法证明 2*22()nnn N +>∈．答案:1. 关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n 取第一个值时命题成立( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当n=k 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题也成立(归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题都成立！(结论）要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1 ⑴当1n =时,上式左边sin θ=右边,不等式成立.⑵设当(1)n k k =≥时,不等式成立,即有sin sin k k θθ≤.那么,当1n k =+时, sin(1)k θ+=例2 证明:(1)当n =2时，左＝(1＋x )2=1+2x +x 2∵ x ≠0，∴ 1+2x +x 2>1+2x =右,∴n =2时不等式成立（2）假设n =k (k ≥2)时，不等式成立，即 (1+x )k>1+kx 当n =k +1时，因为x > -1 ，所以1+x >0，于是 左边=(1+x )k +1 右边=1+(k +1)x ．因为kx 2＞0，所以左边＞右边，即(1+x )k +1>1+(k +1)x ． 这就是说，原不等式当n =k +1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n 都成立.例3 证明:⑴当1n =时,有11a =，命题成立.⑵设当n k =(1)k ≥时，命题成立，即若k 个正数12,,,k a a a 的乘积121k a a a = , 那么它们的和12k a a a k +++ ≥.那么当1n k =+时,已知1k +个正数121,,,,k k a a a a + 满足1211k k a a a a += .若1k +个正数121,,,,k k a a a a + 都相等,则它们都是1.其和为1k +,命题成立.若这1k +个正数121,,,,k k a a a a + 不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数 (否则与1211k k a a a a += 矛盾).不妨设121,1a a ><.例4证:(1)当n =1时,左边=215124+=,右边=13222-=,由于5342<故不等式成立.(2)假设n =k ( ,2≥k N k ∈)时命题成立,即222111112.23kk+++⋯+<-则当n =k +1时, 222221111111223(1)(1)kk kk +++⋯++<-+++211111111222()2.(1)(1)11kk kk k k kk k -+<-+=-+-=-++++ 即当n =k +1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切,2≥n N n ∈都成立.例5（1）当时，左式右式n ==+=+>>=2112122172. ∴=当时，不等式成立n 2（）假设当时，不等式成立，即22n k =≥()1++>则当时，n k =+11=++> 左式=>===右式∴=+当时，不等式成立。
n k 1由（）（）可知，对一切，且，不等式都成立。
122n N n ∈≥练习1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k +9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1 －(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k =36(k+5)·3k －2 (k≥2)⇒f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2、解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *)112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N*)12123452133332:,137253233333333,,,383594510555n a a a a a a a a a n ⨯====+++========+++++3.解析同理猜想73:答案、83、93、10353=n4、证:(1)当n =1时,A 1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n =k 时,A k 能被8整除,即15231k k k A -=+⨯+是8的倍数.那么: 115231k k k A ++=+⋅+=1115(5231)4(31)54(31)k k k k k A ---+⋅+-+=-+ 因为A k 是8的倍数,3k -1+1是偶数即4(3k -1+1)也是8的倍数,所以A k +1也是8的倍数, 即当n =k +1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n , A n 能被8整除.5．证明： 1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k kk 212111211214131211+++++=--++-+-。
那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k)1(21121213121+++++++++=k k kk k这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k 时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 )∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立. 由①②知，当n ∈N *时，42n+1+3n+2能被13整除.7．证明：（1）当n=2时，右边=1111534566+++>，不等式成立．（2）假设当*(2,)n k k k N =≥∈时命题成立，即11151236k k k+++>++ ．则当1n k =+时，111111(1)1(1)2331323(1)1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++++=++++++-++++++>+++-++++>+++-++++=+⨯-=++所以则当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,n n N≥∈均成立．8. 证明：（1）当n=2时，22111132111234122S =+++=+>+，∴命题成立．（2）假设当*(2,)n k k k N =≥∈时命题成立，即2111112322k kk S =++++>+．则当1n k =+时，112111111123221222k k k k kS ++=++++++++++111111111111122122222221111211.22222kkk k k k kk kk k k k +++++>+++++>++++++++=++⨯=++=+所以则当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,n n N ≥∈均成立．9、证明：（1） 当n=1时， 12221+>，不等式成立；当n=2时， 22222+>，不等式成立；当n=3时， 32223+>，不等式成立．（2）假设当*(3,)n k k k N =≥∈时不等式成立，即 222k k +>． 则当1n k =+时， 1222222(22)222(1)23k k k k k k ++=+->-=++--，∵3k ≥，∴223(3)(1)0k k k k --=-+≥，（*）从而122222(1)23(1)k k k k k ++>++--≥+， ∴1222(1)k k ++>+．即当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，222n n +>对一切*n N ∈都成立．。