则当n=k+1时,有
1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2k
1 2
k 1
1 2
1 2 3 3
k 1
k 1 k 1 1 1 k 1 2 k 2 1 1 . 3 3 3 3
这就是说,当n=k+1时,等式也成立. 由(1)与(2)知,对任意n∈N+等式成立.
1 2
2n 1
(n∈N*)当n=1时为 1＋ 1 ＋1
2 3n 1
3
D.设f(n)= 1 ＋ 1 ＋＋ 1
n 1 n2 1 1 1 f k ＋ ＋ ＋ 3k 2 3k 3 3k 4
(n∈N *),则f(k+1)=
【解析】选C.A.式子1+k+k2+„+kn(n∈N*)当n=1时应为 1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+„+kn-1(n∈N*)当n=1时
2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n) =2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需
增乘的代数式为(
A.2k+1
2k 1 C. k 1
)
B.2(2k+1)
2k 3 D. k 1
【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)„(2k), 当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),
少步骤②,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单 靠步骤①,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否
正确,我们无法判定.同样,只有步骤②而缺少步骤①时,
也可能得出不正确的结论,缺少步骤①这个基础,假设 就失去了成立的前提,步骤②也就没有意义了.
【归纳总结】 1.数学归纳法的适用范围
数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不
第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
【自主预习】 1.数学归纳法的定义
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的
所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: n=n0 时命题成立. (1)证明当____
n=k(k∈N+,且k≥n0) 时命题成立,证明______ n=k+1 (2)假设当__________________ 时命题也成立.
即n=k+1时,命题也成立. 由①②知命题对n∈N+都成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要
准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到
n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证 明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为 2k 1 2k 2
k 1
=2(2k+1).
【知识探究】 探究点 数学归纳法
1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示:不一定.
2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有 第二步可以吗?为什么?
提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0
的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法的步骤
【即时小测】 1.下列四个判断中,正确的是 ( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时为1+k
C.式子 1＋ 1 ＋＋ 1
【变式训练】1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1
n 2 1 a *”,在验证n=1成立时,左边计算 = a≠1,n∈N ， 1 a
所得项是
A.1
(பைடு நூலகம்
B.1+a
)
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
【解析】选C.因为n=1时,n+1=2,所以左边计算所得
项是1+a+a2
2.看下面的证明是否正确,如果不正确,指出错误的原 因,并加以改正.
【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13. (2)用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1=
31 1 2
,所以命题成立.
3k 1 2
②假设n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即ak= 那么当n=k+1时,
,
ak+1=ak
+3k=
3k 1 k 3k 1 2 3k 3k 1 1 3 . 2 2 2
段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行 局部调整.
类型一
利用数学归纳法证明恒等式
【典例】已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1 (n≥2,n∈N+) (1)求a2,a3.
n 3 (2)求证:an= 1 . 2
【解题探究】本例中当n=k+1时,ak+1与ak的关系式是什 么? 提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.
用数学归纳法证明:
2n 1 . 3 3 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边= 2 1 =1,等式成立. 3 3
1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·
(2)假设n=k时,等式成立,即1-2+4-8+…+(-1)k-12k-1 =(-1)k-1·
2k 1 . 3 3
【解析】从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法 证明等式成立.在第二步中,证n=k+1时没有用上假设,
能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳 法证明.
2.数学归纳法中两步的作用 在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠
基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推
理的延续性.
3.运用数学归纳法的关键 运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k)
与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手
1 1 1 1 应为1,故B不正确;C.式子 ＋ ＋ ＋＋ (n∈N*) 1 2 3 2n 1 当n=1时为 1＋ 1 ＋1， 正确; 2 3 D.设f(n)= 1 ＋ 1 ＋＋ 1 (n∈N *),则f(k+1)= n 1 n 2 3n 1 1 1 1 1 f k ＋ ＋ ＋ ， 故D不正确. 3k 2 3k 3 3k 4 k 1