xi
易见，Xi其实就是X
5.1.3 样本分布函数
设x1, x2, …, xn是随机变量X的样本观察值，将它 们按大小顺序排列，排序后为x1x2 … xn , ki为 小于xi+1的样本值出现的累积频次，n仍为样本容 量，则可得到样本累积频率分布函数如下
Fn
(x)

0ki,
当x x1 / n, 当xi
因此，总体也可理解为一个随机变量取的值全体。
5.1.1 总体与总体分布
更准确地说，一维随机变量是指反映某总体特征取 值，且具有如下特点的变量X： （1）在同一条件下可以无限次重复取值； （2）取值的结果可能有多个，但不确定； （3）事先不知道取值结果(Outcome)。
由此可知，随机变量可以理解为“随机实验（随机地抽取一个 个体）”结果的数值性描述。
f(x)
b
a f (x)dx P(a x b)
x ab
连续型随机变量取给定值的概率为零。 有时也称下式定义的函数为X的概率分布函数：
F(x) x f (x)dx
5.1.2 随机样本与样本观察值
从重复抽样的角度看“每次从总体中随机抽取个体” 可理解为一个随机实验。
随机样本：表征n次抽取个体的随机抽样的一组随 机变量X1, X2, …, Xn. 样本观察值（样本数据）：n次随机抽样的结果： x1, x2, …, xn（称为随机变量X1, X2, … , Xn的样本观 察值）。n称为样本容量。 注：x1, x2, …, xn也可以看成随机变量X的n次重复抽 样的结果。
概率的定义（见教材p2）。
任何满足定义中三个条件的函数P(A)都可以作为一种合适 的概率分配方式。常用的概率分配方式有：古典法（抛掷 硬币）、相对频数法（产品销路调查）和主观法（体育比 赛结果预测）。
5.1 总体分布与样本分布
本章的总体(Population or Universe)是指研究对象 的全体。并且先研究只有一个特征（指标或变量） 的总体。这样表述总体特征的变量可以看成一个 一维随机变量。
无论是理论研究还是解决实际问题，知道一个随机变量取 各种可能值的概率情况（概率分布）都是十分重要的。
随机变量取值的概率分布，就称为总体分布。
一个随机变量取给定值或属于一给定值集合的概率 所确定的函数称为该随机变量的概率分布。概率分 布反映的是随机变量所有可能取值的概率的分配方 式。一旦与所有可能结果相联系的概率被确定，则 概率分布完全确定。
大写的英文字母：随机变量 小写的英文字母：随机变量的观察值
1，2，3，4，5，6。用X标识骰子落地后 朝上一面的数字。则X是离散随机变量。
对该随机变量进行一次抽样，其实就是掷该骰子 一次。
第i次抽样，就是第i次掷骰子，其结果的表示：
事前
事后
Xi
X
x1
P(X) p1
x2 … xn … p2 … pn …
（1）离散随机变量的概率分布
离散随机变量的概率分布。设X为取相异
值x1, x2, … xn, …的离散随机变量，则函
数
f
(x)

P( X 0,

xi ), i 1,2,, n, X xi
称为X的概率分布或概率分布函数 (probability distribution function, PDF)，其 中P(X=xi)为离散随机变量X取xi值的概率。
• 某项工程按期完成的“可能性”有多大？
• 新投资赢利的“机会”有多大？ 概率在决策过程中起着重要作用，它提供了一种机制来衡 量、表达和分析与未来事件相联系的不确定性。
一些相关概念
随机实验 至少有两个或两个以上的结果但事先不知道会发 生哪个结果的过程。 随机事件（简称为事件） 一个随机实验的可能结果称为基 本事件。所有基本事件的集合称为总体（样本空间）。总 体的子集称为随机事件。
5.1.4 格利文科(Glivenko)定理 （样本分布与总体分布的关系）
格利文科定理：当n趋于无穷大时，Fn(x)依概率1 （关于x）均匀地收敛于总体分布F(x).
例如 我们在某个研究中关注广州市的某区居民的某年经济 收入情况, 我们在这个问题中的总体就是广州市某区居民的 全体, 但我们实际上关注的是该区居民该年的经济收入这样 一个特征, 我们可以用一个变量X来表征我们任意选取的一 个该区居民该年的收入。则X是一个一维随机变量，而我们 研究的总体实际上是这一随机变量取值的全体。
x

xi1
1, 当xn x
样本累积频率分布函数又简
称为样本（累积）分布函数，
它是总体（累积）分布函数
的近似，n越大，就越接近总
体分布，如图。
对于有限总体，其 累积概率分布函数 不连续, 是阶跃式的。 样本的累积分布函 数也是阶跃式的。 如图所示。
样本（累积）分布函数是总体（累积）分布函数的 近似，n越大，就越接近总体分布
（2）连续随机变量的概率密度函数
设X是连续随机变量，x是X取的值，若函数f(x)满 足下列条件：
f (x) 0

f (x)dx 1
b
a f (x)dx P(a x b)
则称f(x)为X的概率密度函数(probability density function, PDF)，其中P(a<xb)表示X在区间(a, b] 取值的概率。
提示
• 如何依据样本的信息推断总体的特征— —参数估计问题
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例、方
差
有关概率概念的回顾
通俗地说：概率是衡量某一特定事件的机会或可能性的数 值度量。它可以用来度量如下一些问题中的可能性 • 如果提高产品的价格，则销售下降的“机会”有多少？
• 某种新的装配作业方法会在多大“可能性”上提高生 产率？
120
100
80
60
Cumulative Percent
40
20
0
Missing 3
5
7
9
11
13
15
17
19
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Highest Year of School Completed
1991年美国一般社会调查(1991 U.S. General Social Survey)数据 中被调查对象”接受学校教育的最高年限”的样本累积分布图