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12016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ）【解析】1(1)a bdxx x +∞+⎰1111(1)(1)a b a b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰11pdx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响同理，1111(1)11ba ba b dx dxx x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()22222211,11y xx y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（）22()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y x-=-+21221是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()()x p x x x -+-+=+2222101，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。

所以有()()q x x x =+231.（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点（B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导（D ）()f x 在0x =处可导【答案】（D ）【解析】由于()lim x x f x-→-'==0001，()lim n n f n+→∞-'==1011,故选D 。

（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似【答案】（C ）【解析】此题是找错误的选项。

由A 与B 相似可知，存在可逆矩阵,P 使得1P AP B -=，则111111111111111111(1)()()~,A (2)()~(3)()~, T T T T T T T T P AP B P A P B A B P AP B P A P B A B B P A A P P AP P A P B B A A B B D ------------------=⇒=⇒=⇒=⇒+=+=+⇒++故（）不选；，故（）不选；故（）不选；此外，在（C ）中，对于111()TTP A A P P AP P A P ---+=+，若1=P AP B -，则1()TTT T P A P B -=，而1TP A P -未必等于TB ，故（C ）符合题意。

综上可知，（C ）为正确选项。

（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（D ）柱面更多干货，内容请关注凯程官网和凯程手机站。

3【答案】（B ）【解析】对于二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，其矩阵为122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，接下来由0E A λ-=，可得其特征值为1235,1λλλ===-（一正两负），因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.故二次型()123,,f x x x 的规范形为222123f z z z =--，即22222231212322221(2)(2)(2)z z z z z z --=⇒--=，对应的曲面为双叶双曲面。

（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（）（A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少（D ）p 随着σ的增加而减少【答案】（B ）【解析】2{}{}X P X P μμσσσ-≤+=≤所以概率随着σ的增大而增大。

（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（）【解析】11(2,),(2,)33X B Y B 24,39EX EY DX DY ====，211(1,1)9EXY P X Y =⋅⋅===所以12XY EXY EXEY DX DYρ-==-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t xx 【答案】21【解析】ln(sin )limx x x x x →+=301122（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA44【答案】()1,1,0-y 【解析】由旋度公式得，{}(A),,,,R Q P R Q P rot y y z z x x y ⎧⎫∂∂∂∂∂∂=---=-⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭01111、设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =有方程()(,)x z y x f x z y +-=-221确定，则(),____dz =01．【答案】dydx 2+-【解析】()(,)x x y x f x z y +-=-221两边分别关于,x y 求导得()(,)(,)()()((,)()(,))x x y y z x z xf x z y x f x z y z x z y x f x z y z f x z y '''++=-+--''''+-=--+-2121212112，将,,x y z ===011代入得，(),dzdx dy=-+012（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a 【答案】21（13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.【答案】432234++++λλλλ【解析】414321001011=01+4110++2+3+4.00132+101432+1λλλλλλλλλλλλλλ+-----⨯-=--（-）（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.【答案】()8.10,2.8【解析】0.0250.0250.0250.025{}{}0.95x uP u u P x u u x u nnnσσσ--<<=-<<+=更多干货，内容请关注凯程官网和凯程手机站。

5因为0.02510.8x u nσ+=，所以0.025 1.3,u nσ=所以置信下限0.0258.2x u nσ-=.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.【答案】3325+π【解析】()()⎰⎰⎰⎰⎰-+-+==223cos 1222222cos 123cos cos ππθππθθθθθd rdr r d dxdy x D()⎰⎰⎰⎰----++=++=22422322222432cos 38cos 8cos 8cos cos 3cos 338ππππππππθθθθθθθθθθd d d d ()⎰⎰⎰⎰------+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-++=22222232222322222cos sin 338|3sin sin 8|22sin 4sin cos 38sin sin 18212cos 8ππππππππππππθθθθθθθθθθθθθd d d d 33252sin 23324222+=-+=⎰-πθθπππd （16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.【答案】()II k3【解析】（1）特征方程为220r r k ++=，由01k <<可知，特征方程有两个不相同的特征根，1,2244112kr k -±-==-±-且1,20r <，66由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，1212()r x r xy x C e C e =+12120()r x r xy x dx C e C e dx +∞+∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰12120r x r x C e dx C e dx+∞+∞=+⎰⎰121212lim 1lim 1r x r x x x C Ce e r r →+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-+-⎣⎦⎣⎦由于1,20r <1212()C C y x dx r r +∞=--⎰极限存在，故收敛.(2)由1212()r xr xy x C e C e =+，(0)1,'(0)1y y ==可知，1211221,21111C C C r C r r k⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=-±-⎪⎩解得1212C C ==代入12012()C C y x dx r r +∞=--⎰可知0()y x dx +∞=⎰1kk -（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值【答案】3【解析】(1)由2(,)(21)x yf x y x e x-∂=+∂可知：2(,)[(21)]x y f x y x e d x-=+⎰22[2]y x xe x e d x ed x -=+⎰⎰2()y x e xe y ϕ-=+ 2()x y x e y ϕ-=+又(0,)1f y y =+可知()1y y ϕ=+更多干货，内容请关注凯程官网和凯程手机站。