2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。

根据极值的充分条件知，在某点左右导函数符号发生改变，则该点是极值点，因此从图形可知函数()f x 有2个极值点.根据拐点的必要条件可知，拐点可能是二阶导为0的点或二阶导不存在的点，根据拐点的充分条件可知，曲线在某点左右导函数的单调性发生改变，则该点是曲线的拐点，因此曲线()y f x =由3个拐点，故选B.5、设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有()（A ）12()()()f x f x g x ≤≤（B ）21()()()f x f x g x ≤≤（C ）12()()()f x g x f x ≤≤（D ）21()()()f xg x f x ≤≤【答案】（A ）【解析】因为()i f x ''连续且''0()0i f x <，所以根据连续的定义和极限的保号性在0x 的某领域0()U x 内有()0i f x ''<，所以()i f x 在0()U x 内是凸的.又因为在0x x =处具有公切线()y g x =，根据凸函数的几何意义可知曲线与切线位置关系为()()i f x g x ≤.在点0x 处1()y f x =曲率大于2()y f x =，所以1020()()0f x f x ''''<<，所以令12()()()F x f x f x =-，因为在0x x =处具有公切线()y g x =，所以0()0F x =，0()0F x '=.再由0()0F x ''<得，0()0F x =为()F x 的极大值，所以在0x 的某领域10()U x 内()0F x ≤，故12()()f x f x ≤.从而12()()()f x f x g x ≤≤.故选A.6、已知函数(,)xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -=（B ）''0x y f f +=（C ）''x y f f f -=（D ）''x y f f f+=【答案】（D ）【解析】因为22()(,),(,)()()x x xx y e x y e e f x y f x y x y x y --''==--，所以(,)(,)()xx y e f x y f x y f x x y''+==-.故选D.7、设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似【答案】（C ）【解析】A 与B 相似，所以存在可逆阵P使得1.P AP B -=11()()T T T T T T T B P A P P A P --==，即T A 与T B 相似.111B P A P ---=，即1A -与1B -相似.又1B P AP -=，从而有111()B B P A A P---+=+所以1A A -+与1BB -+相似，从而选C.8、设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，则()（A ）1a >（B ）2a <-（C ）21a -<<（D ）1a =与2a =-【答案】（C ）【解析】二次型123(,,)f x x x 对应的矩阵111111a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由21111(2)(1)011aE A aa a aλλλλλλ----=---=---+=---得，A 的特征值为1232,1a a λλλ=+==-，由于123(,,)f x x x 的正、负惯性指数分别为1,2，且正负惯性指数恰好等于特征值中正、负数的个数，所以20a +>且10a -<，即21a -<<.故选C.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、曲线322arctan(1)1x y x x=+++的斜渐近线方程为____________.【答案】2y x π=+【解析】因为3221l im lim (arctan(1))11x x y x a x x x x →∞→∞==++=+，322l im()lim(arctan(1))12x x x b y ax x x x π→∞→∞=-=++-=+.所以斜渐近线为2y x π=+.10、极限2112lim(sin 2sin sin )n nn n n n n→∞+++= ____________.【答案】sin1cos1-【解析】因为2112111121lim(sin 2sin sin )lim (sin 2sin sin )n n n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞+++=+++ 1sin sin1cos1x xdx ==-⎰11、以2x y x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.【答案】22y y x x'-=-【解析】设一阶非齐次线性微分方程为()()y p x y q x '+=.根据线性微分方程齐次与非齐次解之间的关系知22()x x x x e e --=为()0y p x y '+=的解，所以()1p x =-.又因为2y x =是()()y p x y q x '+=的解，所以2()2q x x x =-.故一阶非齐次线性微分方程为22y y x x '-=-.12、已知函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且2()(1)2()d xf x x f t t =++⎰，则当2n ≥时，()(0)n f =____________.【答案】522n ⨯【解析】当0x =时，(0)1f =；20()(1)2()d xf x x f t t =++⎰两边同时对x 求导，得()2(1)2()f x x f x '=++，(0)4f '=；()2(1)2()f x x f x '=++两边同时对x 求导，得()22()f x f x '''=+，(0)10f ''=；()22()f x f x '''=+两边同时对x 求导，得()2()f x f x '''''=；……..依次求导得()2()2()n n fx f x -''=；所以()225(0)2(0)10222n n n n f f --''==⨯=⨯.13、已知动点P 在曲线3y x =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l .若点P 的横坐标时间的变化率为常数0V ，则当点P 运动到点(1,1)时，l 对时间的变化率是_______.【答案】022v 【解析】2226l x y x x =+=+，同时对t 求导得，526262dl dl dx x x dxdt dx dt dtx x +==+，又因为01,dx x v dt ==，所以10082222x dlv v dt===.14、设矩阵111111a a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与110011101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦等价，则_________.a =【答案】2【解析】1100110101B =-=，()2r B =21111(1)(2)011a A a a a a--=--=+-=--当1a =-时，()1r A =；当2a =时，()2r A =，故2a =.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）求极限41l im(cos 22sin 1)x x x x x →+-【解析】44011lim(cos22sin 1)lim(cos 22sin 1)x x x x x x x x x x e→+-→+-=其中324434400111(2)(2)()2(())1124!3!lim (cos 22sin 1)lim x x x x x o x x x o x x x x x x→→-+++-+-+-=4242444440021122())1()1333lim lim 3x x x x x x o x x o x x x →→-++-+-+===因此，原极限13e=16、（本题满分10分）设函数1220()(0)f x t x dt x =->⎰，求'()f x 并求()f x 的最小值.【解析】1220(),(0)f x t x dt x =->⎰当01x <≤时，122220()()()xxf x x t dt t x dt=-+-⎰⎰33323211141(1)33333x x x x x x x =-+---=-+当1x >时，222220()()3f x x t dt x dt t dt x =-=-=-⎰⎰⎰即322410133()113x x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩2'4201()21x x x f x xx ⎧-<≤=⎨>⎩令'()0f x =可得当01x <≤时12x =为驻点且为极小值点11()24f =，而2(1)3f =所以()f x 的最小值为14.17、（本题满分10分）已知函数(,)z z x y =由方程22()ln 2(1)0x y z z x y +++++=确定，求(,)z z x y =的极值.【解析】222212201220z z z xz x y x x z x z z z x yz y yy z y ∂∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪++++=∂∂∂⎪⎩221010ln 2(1)0xz yz x z y z z x y +=⎧⎪⇒+=⎨⎪+++++=⎩111x y z =-⎧⎪⇒=-⎨⎪=⎩由221220z z z xz xy x x z x∂∂∂++++=∂∂∂再对x 求导可得222222221122()()0z z z z z x x y x x z x z x∂∂∂∂+++-+⋅=∂∂∂∂将0,1,1,1zx y z x ∂==-=-=∂代入可得22203z A x∂==-<∂，同理：220z y ∂<∂由221220z z zxz xy x x z x∂∂∂++++=∂∂∂再对y 求导可得222221122()0z z z z z z x y x y y x x y z x y z x y ∂∂∂∂∂∂+++-⋅⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂∂∂将0,0,1,1,1z zx y z x y∂∂===-=-=∂∂代入可得20z x y ∂=∂∂20A C B ->且0A <，所以(1,1)--处取得极大值.18、（本题满分10分）设D 是由直线1y =，y x =，y x =-围成的有界区域，计算二重积分2222.D x xy y dxdy x y --+⎰⎰【解析】22222122222222D D Dx xy y x y y xy I dxdy dxdy dxdy I I x y x y x y --+-==-=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰又区域D 关于y 轴对称，则02=I 4322212I I dx dy y x ydxdy I DD +=+-=⎰⎰⎰⎰其中13==⎰⎰Ddxdy I ，dx y x y dy dxdy y x y dxdy y x y I y D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=10022222222244421又yyxy y x d y x y dx y x y y y y4a rctan 11002222π==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎰⎰故214ππ==⎰ydy I ，则12I π=-.19、（本题满分10分）已知1()xy x e =，2()()xy x x e μ=是二阶微分方程(21)(21)'20n x y x y y --++=的两个解，若(1)e μ-=，(0)1μ=-，求()x μ并写出该微分方程的通解.【解析】已知2()()xy x x e μ=是二阶微分方程(21)''(21)'20x y x y y --++=的解，代入并整理得(21)''(32)'x x μμ-=-，即''32'21xx μμ-=-，所以''32'21xdx dx x μμ-=-⎰⎰，1122ln |'|ln |21|ln 21x dx x x C x μ-+==-+-+-⎰.所以1|'()||21|x x e x C μ-=⋅-，1'()(21)xx C x e μ-=-。