2016 年全国硕士研究生入学统一考试
数 学（二） 试 题 及 解 答
本文档仅供学习交流之用. 试题来源于网络, 解答由孟庆鑫提供, 个人观点仅供参考.
一、选择题：1 ∼ 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个 选项是符合题目要求的.
1.
设
a1
=
x
(
√ cos x
x < 1, 则 f (x) 的一个原函数是 x ⩾ 1,
(D) a3, a2, a1. [D]
(x − 1)2, x < 1, (A) F (x) = x(lnx − 1), x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(C) F (x) = x(lnx + 1) + 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2, (B) F (x) = x(lnx + 1) − 1, (x − 1)2, (D) F (x) = x(lnx − 1) + 1,
[B]
y
(A) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
(B) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 3 个拐点.
(C) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 1 个拐点.
(D) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
[A]
数学（二） 试题及解答 · 第 1 页（共 6 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
(A) f1(x) ⩽ f2(x) ⩽ g(x). (C) f1(x) ⩽ g(x) ⩽ f2(x).
(B) f2(x) ⩽ f1(x) ⩽ g(x). (D) f2(x) ⩽ g(x) ⩽ f1(x).
−1 −1 a
101
三、解答题：15 ∼ 23 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 10 分）
求极限
lim
(cos2x
+
1
2x sinx) x4
.
x→0
解
1
lim (cos2x + 2x sinx) x4
=
lim
(cos2x
+
2x
sinx
−
1
+
1)
1 cos2x+2x
−
1
)
,
√
√
a2 = x ln ( 1 + 3 x ) ,
√ a3 = 3 x + 1 − 1,
当 x → 0+ 时,
以
上三个无穷小量按照从低到高阶的排序是
[B]
(A) a1, a2, a3.
(B) a2, a3, a1.
(C) a2, a1, a3.
2.
已知函数
f
(x)
=
2(x − lnx,
1),
(B) A−1 与 B−1 相似.
(C) A + AT 与 B + BT 相似.
(D) A + A−1 与 B + B−1 相似.
8. 设二次型 f (x1, x2, x3) = a (x21 + x22 + x23) + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3 的正、负惯性指数
分别为 1, 2, 则
2
n
10.
lim
n→∞
n2
sin + 2 sin + · · · + n sin
n
n
n
= sin1 − cos1 .
11. 以 y = x2 − ex 和 y = x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 y′ − y = 2x − x2 .
ˆx 12. 已知函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 上连续, f (x) = (x + 1)2 + 2 f (t) dt, 则当 n ⩾ 2
6. 已知函数 f (x, y) = ex , 则
[D]
x−y
(A) fx′ − fy′ = 0. (B) fx′ + fy′ = 0. (C) fx′ − fy′ = f. (D) fx′ + fy′ = f.
7. 设 A, B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是
[C ]
(A) AT 与 BT 相似.
O
x
5.
设函数
fi(x)
(i
=
1,
2)
具有二阶连续导数,
且
f ′′
i
(x0
)
<
0
(i
=
1,
2),
若两条曲线
y = fi(x) (i = 1, 2) 在点 (x0, y0) 处具有公切线 y = g(x), 且在该点曲线 y = f1(x) 的
曲率大于曲线 y = f2(x) 的曲率, 则在 x0 的某个邻域内, 有
sinx−1
·
cos2x+2x x4
sinx−1
x→0
x→0
= e = e . xl→ im0cos2x+x2x4 sinx−1
1 3
数学（二） 试题及解答 · 第 2 页（共 6 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
16.（本题满分 10 分） ˆ1
设函数 f (x) = | t2 − x2 | dt (x > 0), 求 f ′(x) 并求 f (x) 的最小值.
[C ]
(A) a > 1. (C) −2 < a < 1.
(B) a < −2. (D) a = 1 或 a = −2.
二、填空题：9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.
9. 曲线 y =
x3
+ arctan (1 + x2) 的斜渐近线方程为
π y = x+
.
1 + x2
2
(
)
11
0
ˆ1
4 x3
−
x2
+

1 ,
解
f (x) =
0
|
t2
−
x2
|
dt
=
3 x2
−
1 ,
3
3
于是
f
′ (x)
=
4x2 2x,
−
2x,
0 < x < 1, x ⩾ 1.
0 < x < 1, x ⩾ 1,
()
f ′(x) =令 0
3.
反常积分
⃝1
ˆ0
−∞
1 x2
e1 x
dx,
⃝2
ˆ +∞
0
1 x2
e1 x
dx
的敛散性为
x < 1, x ⩾ 1. x < 1, x ⩾ 1.
[B]
(A) ⃝1 收敛, ⃝2 收敛.
(B) ⃝1 收敛, ⃝2 发散.
(C) ⃝1 发散, ⃝2 收敛.
(D) ⃝1 发散, ⃝2 发散.
4. 设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则
0
时, f (n)(0) = 5 · 2n−1 .
13. 已知动点 P 在曲线 y = x3 上运动, 记坐标原点与点 P 间的距离为 l. 若点 P 的横
坐标对时间的变化率为常数 v0, 则当点 P 运动到点 (1, 1) 时, l 对时间的变化率是 √ 2 2 v0 .
a −1 −1
110
14. 设矩阵 −1 a −1 与 0 −1 1 等价, 则 a = 2 .