15. 一扇形的圆心角为 60°，半径为 R，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为______ 16. 已知函数 f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ
＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
△EFG（点 G 是图象的最高点）是边长为 2 的等边
三角形，则 ω=______，f（ ）=______．
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. sin（- 已知
，则 cos2α=（ ）
A.
B. 1
C.
D.
3. 若
A. 7
，且 α 为第二象限角，则
B.
C. -7
D.
4. 函数 f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如 图所示，则函数 f（x）的解析式为（ ）
平移 个单位长度．
（1）求函数 f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程 （2）已知关于 x 的方程 f（x）+g（x）=m 在[0，π）内有两个不同的解 α，β． ①求实数 m 的取值范围；
②证明：
．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：sin（- ）=-sin（4π- ）=sin = ．
总分 =（ ）
A. f（x）=sin（2x- ）
B. f（x）=sin（2x+ ）
C. f（x）=sin（4x+ ）
D. f（x）=sin（4x- ）
5. 已知函数 f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数 y=f（x）的图象向左平移 个
单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数 φ=（ ）
命题正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. |sinα|-|cosα|＞0
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 定义运算： β=______
．若
，则
14. 已知函数 f(x)＝3sin(ωx－ )(ω>0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，
若 x∈[0， ]，则 f(x)的取值范围是________．
10. 已知函数
，如果存在实数 x0，使得对任意
的实数 x，都有 f（x0）≤f（x）≤f（x0+2019π）成立，则 ω 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知 sinα+ cosα= ，则 tanα=（ ）
A.
B.
C. -
D. -
12. 已知 α∈（0，π）且 sinα，cosα 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0（a∈R）的两实根，下列
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P
（1）求
的值；
（2）求 tan2α 及 sin4α
18. 已知函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期和最大值，并求出 f（x）取得最大值时的 x 的集 合；
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A.
B.
C.
D.
6. 设
，b＝sin 15°+cos 15°，
，则 a，b，c
的大小关系为（ ）
A. c＜b＜a
B. b＜c＜a
C. a＜b＜c
D. b＜a＜c
7. 已知 f（x）=2sin2x+2sinxcosx，则 f（x）的最小正周期和一个单调减区间分别为（
）
A. 2π，[ ， ]
B. π，[ ， ]
4.【答案】B
【解析】解：由图象得 = = ，即 T=π，
即 T=
，即 ω=2，
则函数 y=sin（2x+φ），
由五点对应法得 2× +φ= ，
∴φ= - = ，
则 f（x）=sin（2x+ ），
故选：B 根据函数的周期求出 ω，结合五点对应法求出 φ 即可． 本题主要考查三角函数解析式的求解，结合条件求出 ω 和 φ 的值是解决本题的关键．
C. 2π，[- ， ]
D. π，[- ， ]
8. 若锐角 α，β 满足（1+ tanα）（1+ tanβ）=4，则 α+β=（ ）
A.
B.
C.
D.
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9. 若函数
满足 f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值
为 ，则函数 f（x）的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）写出函数 f（x）的对称中心，并求出函数 f（x）在[-2π，2π]上的单调增区间．
19. 如图，摩天轮上一点 P 在 t 时刻距离地面高度满足 y=Asin（ωt+φ）+b，φ∈[-π，π]， 已知某摩天轮的半径为 50 米，点 O 距地面的高度为 60 米，摩天轮做匀速转动， 每 3 分钟转一圈，点 P 的起始位置在摩天轮的最低点处． （1）根据条件写出 y（米）关于 t（分钟）的解析式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距离地面超过 85 米？
3.【答案】B
【解析】解：∵cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=cos（α-β+β）=cosα=- ，
因为 α 为第二象限角，所以 sinα= ，则 tan=- ，
则
=
=
=，
故选：B． 把已知的等式利用两角差的余弦函数公式化简，求出 cosα 的值，由 α 的范围，利用同 角三角函数间的基本关系求出 sinβ 的值，进而求出 tanα 的值，然后把所求的式子利用 二倍角的正切函数公式化简后，把 tanα 的值代入即可求出值． 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式以及同角三角函数间的 基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
故选：D． 由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解． 本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了 转化思想，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：已知
，则 cos2α=1-2sin2α=1-2× =- ，
故选：A． 由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果． 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
20. 已知函数
x）的图象的一条对称轴． （1）求 ω 的值及函数 f（x）的单调递增区间； （2）画出函数 f（x）在[0，π]的图象．
，直线 x= 是函数 f（
21. 已知
，且 cosα，cosβ 是方程
（1）求 α，β 的值； （2）求
的值
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的两实根．
22. 已知函数 f（x）的图象是由函数 g（x）=cos2x 的图象经如下变换得到：先将 g（x） 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右