2018-2019学年上学期高一期末考试试卷数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·五省联考]已知全集U =R ，则下列能正确表示集合{}0,1,2M =和{}220N x x x +==关系的韦恩（Venn ）图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．[2018·三明期中]已知函数()lg ,011,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则()()1f f -=（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．1-3．[2018·重庆八中]下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A ．22y x x =+B ．2x y =C ．22x x y -=-D ．12log 1y x =-4．[2018·大庆实验中学]已知函数()32x f x a x=--的一个零点在区间()1,3内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．5,72⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,7-D ．()1,-+∞5．[2018·金山中学]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ）A ．6B ．22C ．1D 66．[2018·黄山八校联考]若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n7．[2018·宿州期中]已知直线1:30l mx y -+=与211:22l y x =-+垂直，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．28．[2018·合肥九中]直线l 过点()0,2，被圆22:4690C x y x y +--+=截得的弦长为23线l 的方程是（ ） A ．423y x =+ B ．123y x =-+C ．2y =D ．423y x =+或2y =9．[2018·南宁模拟]如图，棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 中点，这直线1D M 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．32B ．55C ．255D ．1210．[2018·东城期末]已知圆22:4C x y +=，直线():l x y m m +=∈R ，设圆C 上到直线l 的距离为1的点的个数为S ，当032m ≤<时，则S 的可能取值共有（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种11．[2018·云天化中学]如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =．则下列结论中正确的个数．．．．．为（ ）①AC BE ⊥； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④AEF △的面积与BEF △的面积相等． A ．1 B ．2C ．3D ．412．[2018·湛江调研]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ===， 若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A ．169π16B ．289π16C ．25π16D ．8π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·华东师大附中]已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________．14．[2018·嘉兴三中]已知点()2,1A ，()2,3B -，()0,1C ，则ABC △中，BC 边上中线所在的直线方程为________．15．[2018·赣州期中]设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________．主视图 左视图 俯视图16．[2018·嘉兴一中]若函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[]0,2上有两个零点， 则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·安庆期中]设全集{}1,2,3,4,5,6U =，A ，B 都是U 的子集，{}1,2A =，(){}4,6UA B =，（1）写出所有符合题意的集合B ；（2）计算：341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⋅．18．（12分）[2018宜昌期中·]设a 是实数，()2221x x a a f x ⋅+-=+，（1）证明：()f x 是增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数．19．（12分）[2018·华安一中]已知点()2,3A ，()4,1B ，ABC △是以AB 为底边的等腰 三角形，点C 在直线:220l x y -+=上．（1）求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(结果写成直线方程的一般式) （2）求ABC △的面积．20．（12分）[2018·定远月考]如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？21．（12分）[2018·泸化中学]如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDE ⊥平面PEC ．22．（12分）[2018·陕西四校联考]如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求三棱锥11B A BD -的体积．2018-2019学年上学期高一期末考试数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】N 为220x x +=的解集，解220x x +=可得，0x =或2-， 则{}2,0N =-，{}0M N =≠∅，由选项中的Venn 图可得选项A 符合题意，故选A ．2．【答案】C【解析】由题意得()111110f -=-+=，∴()()()110lg101f f f -===．故选C ． 3．【答案】D【解析】根据奇偶性的定义知A 即不是奇函数也不是偶函数，C 是奇函数，B 、D 是偶函数，在(),0-∞上B 是减函数，D 是增函数．故选D ． 4．【答案】C【解析】函数()32x f x a x=--是增函数，且一个零点在区间()1,3内，根据零点存在定理得到()()1030f f <>⎧⎪⎨⎪⎩解得a 的范围是()1,7-．故答案为C ．5．【答案】A【解析】画出直观图如下图所示，计算各面的面积为1122ABC S ==△，12112ABD BCD S S ==⨯⨯=△△，12ACD S ==△，A ．6．【答案】D【解析】对于A ，若αβ⊥，m β⊥，则//m α或m α⊂，故A 错误； 对于B ，若//m α，n m ⊥，则n α⊥或n α⊂或n 与α相交，故B 错误； 对于C ，若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβ或α、β相交，故C 错误； 对于D ，若//m β，m α⊂，n αβ=，由线面平行的性质定理，可得//m n ，故D 正确，故选D ． 7．【答案】D【解析】很明显直线的斜率存在，直线方程即3y mx =+，1122y x =-+，由直线垂直的充分必要条件可得：112m -⨯=-，解得2m =．本题选择D 选项．8．【答案】D【解析】因为直线l 被圆22:4690C x y x y +--+=，()()22234x y -+-=截得的弦长为23()2431-=，设直线l 的方程为2y kx =+，（斜率不存在时不满足题223211k k -+=+，0k ∴=或43k =，即直线l 的方程是423y x =+或2y =，故选D ． 9．【答案】C【解析】连接DM ，因为几何体是正方体，所以1D MD ∠就是直线1D M 与平面ABCD 所成角，1125tan 55DD D MD DM a∠===，故选C ． 10．【答案】B【解析】因为圆C 上到直线l 的距离为[)0,32m ∈，所以当12m =时，圆C 上到直线l 的距离为1的点的个数为3；当()1,32m ∈时，圆C 上到直线l 的距离为1的点的个数为2；当[)0,12m ∈时，圆C 上到直线l 的距离为1的点的个数为4；因此S 的可能取值共有3种，故选B ． 11．【答案】C【解析】连结BD ，则AC ⊥平面11BB D D ，11BD B D ∥．AC BE ∴⊥，EF ∥平面ABCD ，从而①②正确，又BEF △面积为定值，A 到平面11BB D D 距离为定值，所以三棱锥A BEF -的体积为定值，从而③正确，因为A 到11B D 的距离不等于1BB ．所以AEF △的面积与BEF △的面积不相等，④错误． 故选C ． 12．【答案】B【解析】根据题意知，ABC △是一个等边三角形，其面积为334，外接圆的半径为1，小圆的圆心为Q ，由于底面积ABC S △不变，高最大时体积最大，所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ⨯=△4DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO △中，222OA AQ OQ =+，即()22214R R =+-，∴178R =， 则这个球的表面积为217289π4π816S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】()223f x x x =--【解析】因为()214f x x +=-，∴令1x t +=，则1x t =-，()()()2211423f x f t t t t ∴+==--=--，∴函数()f x 的解析式为()223f x x x =--，故答案为()223f x x x =--．14．【答案】350x y +-=【解析】设BC 中点为(),D x y ，已知()2,3B -，()0,1C ，则()1,2D -， 因为()121213AD k -==---，所以BC 边上中线所在的直线方程为350x y +-=．15．【答案】36【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个长、宽、高分别为4，2，2的长方体截去一个三棱锥1D ACD -后剩下的部分（如图所示）．∵1AD C △的三边长分别分2，5511223262AD C S =⨯=△．故该几何体的表面积111422242424222636222S =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=．16．【答案】(1,57【解析】由题意，要使函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[]0,2上有两个零点，只要()()002002202f f a a f ≥≥<<⎛⎧⎪⎪⎪⎨⎫< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩，即2222010180022220a a a a a a -+≥-+≥<⎧⎪⎪⎪<⎨-+<⎪⎪⎪⎩，解得(1,5a ∈，故答案为(1,5． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）{}4,6，{}1,4,6，{}2,4,6，{}1,2,4,6；（2）2． 【解析】（1）集合B 为{}4,6，{}1,4,6，{}2,4,6，{}1,2,4,6．（2）341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⋅232lg 2lg 23lg 5log 2log 3-=-+-⋅lg22lg23lg51=++-()3lg2lg51=+-3lg101=-312=-=．18．【答案】（1）见解析；（2）1．【解析】（1）证明：设1x 、2x ∈R 且12x x <，()()()()()121212122222*********x x x x x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由2x y =在R 上为增函数，则120x >，220x >， 由12x x <，可得12220x x -<，则()()120f x f x -<，故()f x 为增函数，与a 的值无关，即对于任意a ，()f x 在R 为增函数． （2）若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，必有有()()f x f x -=-，即222121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，变形可得()2212221x xa +==+， 解可得，1a =，即当1a =时，()f x 为奇函数．19．【答案】（1）10x y --=；（2）2．【解析】（1）由题意可知，E 为AB 的中点，13142AB k -==--， ∴()3,2E ，且11CE ABk k =-=，∴CE 所在直线方程为23y x -=-，即10x y --=． （2）由22010x y x y -+=--=⎧⎨⎩，得43x y =⎧⎨⎩=，∴()4,3C ，∴2AC BC ==，22AB =，∴AC BC ⊥，∴122ABC S AC BC =⋅=△． 20．【答案】（1）33h x =-；（2）当12x =时，它的侧面积最大为3π2．【解析】（1）设所求的圆柱的底面半径为x ，它的轴截面如图，1BO =，3PO =，圆柱的高为h ，由图，得313x h-=，即33h x =-． （2）∵()()22π2π336πS hx x x x x =-=-=圆柱侧，当12x =时，圆柱的侧面积取得最大值为3π2． ∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积最大为3π2．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：如图，取PD 的中点G ，连接AG ，FG ． 因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以GF DC ∥，且12GF DC =． 又E 是AB 的中点，所以AE DC ∥，且12AE DC =， 所以GF AE ∥，且GF AE =，所以四边形AEFG 是平行四边形，故EF AG ∥．又AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PD ⊥． 因为四边形ABCD 是矩形，且2AB AD =，所以AD AE =，BC BE =，所以45AED BEC ∠=∠=︒，DE CE ⊥．又PD DE D =，PD ⊂平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以CE ⊥平面PDE ， 又CE ⊂平面PEC ，所以平面PDE ⊥平面PEC ． 22．【答案】（1）见解析；（2）33． 【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵直三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ， ∴BD ⊥平面11AAC C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，∴1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）连结1AB 交1A B 于O ，∵O 为1AB 的中点，∴点1B 到平面1A BD 的距离等于点A 到平面1A BD 的距离．∴111111113213332B A BD A A BD B AA D AA D V V V S BD ---===⨯⨯=⨯⨯⨯=△．。