b r r 1 qi dri Aab = q0 ∫ ∑ E i • d l = q0 ∑ ∫ 2 i a 4πε 0 ri a i
3
q0 qi 1 1 − Aab = ∑ 4πε 0 ria rib i
电场力的功只与q 始末位置有关，而与q 电场力的功只与 0始末位置有关，而与 0所经过的路 径无关，电场力为保守力，静电场为保守力场。 径无关，电场力为保守力，静电场为保守力场。
这里引入的电势能是与q 有关的， 这里引入的电势能是与 0有关的，并不反映电场的特 在电磁学中常用的是电势。 性。在电磁学中常用的是电势。
8
2.电势V .电势V
A = WPa − WPb = q0 ∫a
b
r r E ⋅ dl
将上式同时除以q0： 将上式同时除以
A WPa WPb = − = q0 q0 q0
对于点电荷系，电势能要用求和的方式表示， 对于点电荷系，电势能要用求和的方式表示，
q0 qi 1 1 − = ∑ q0 qi − ∑ q0 qi A=∑ rib i 4πε 0 ria 4πε 0 rib i 4πε 0 ria i
= WPa − WPb = −∆WP
18
若带电体是无限大均匀带电为σ的平面，结果如何？ 若带电体是无限大均匀带电为 的平面，结果如何？ 的平面
19
第三类问题：场强线积分法 第三类问题：场强线积分法——具有高度 具有高度 r ∞ r 对称的场。 对称的场。Va = ∫a E ⋅ d l 例4：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q， ： ， ， 求：球壳内、外的电势分布。 球壳内、外的电势分布。 球壳内、 解：球壳内、外的场强 r q o 作高斯球面 R E r r r ∑q r r ∫∫SE ⋅ dS = ε
r
q o r
R E r r
= ∫ E2dr
∞ r
∞ r
Q dl // dr // E
高斯面
q q dr = =∫ 2 4πε 0 r 4πε 0r 1
23
II I q o R
II I q o R
二、静电场的环路定理
1.定理表述 定理表述 静电场中电场强度沿任意的闭合路径绕行一周积 分等于零。 分等于零。
∫
L
r r E ⋅ dl = 0
4
2.定理证明 定理证明 将电荷 q0 沿任意的闭合路 径绕行一周电场力作功： 径绕行一周电场力作功：
L1
b
r r A = q0 ∫ E ⋅ d l
L
b
E
r r r r = q0 ∫ L1E ⋅ d l + ∫ L 2 E ⋅ d l b a
0
E ∫∫S dS =
∑q
ε0
高斯面
20
1 ∑q E= 2 4πε 0 r
区 r < R, I区：球面内 ∑q = 0
E1 = 0
II I q o r E R
r r
区 r > R, II区：球面外 ∑q = q
q E2 = 2 4πε 0 r 1
高斯面
21
•I区：球壳内电势 区
r<R
II I
选无穷远为电势0点 选无穷远为电势 点，
r r q0 q WP = ∫ q0 E • dl = 4πε 0 r r
∞
点移到∞ 意义为将实验电荷从r点移到 时电场力作的功。 时电场力作的功。
7
电场力作功等于势能增量的负值。 电场力作功等于势能增量的负值。
q0 q 1 1 − A= 4πε 0 ra rb
= = WPa − WPb −(WPb − WPa ) = −∆WP
A重 = mgh − mgh0
重力势能
mg
h
W p = mgh
= q0q qq − 0 4πε 0ra 4πε 0rb
在点电荷q产生的电场中电场力作功 在点电荷 产生的电场中电场力作功
Aab = q0 q 1 1 − 4πε 0 ra rb
h0
同样可以引入静电势能Wp 同样可以引入静电势能 作为电势能的0点时 的电势能为： 令rb=∞作为电势能的 点时，点电荷 的电势能为： 作为电势能的 点时，点电荷q的电势能为
r E1
r E2
r E3
a
Va = ∫
b a
b
c
c b
r
r r E1 ⋅ d l +
∫
r r E2 ⋅ d l +
∫
∞
c
r r E3 ⋅ d l
14
第一类问题：点电荷系电势的计算。 第一类问题：点电荷系电势的计算。
例1：在正方形四个顶点上各放置 +q、+q、-q、-q 四 ： 、 、 、 个电荷， 个电荷，求正方形中心 o 点的电势 V。 。
Va = ∫
∞
a
r r E ⋅ dl
=∫
=∫
∞
a
r r r r (E1 + E 2 + L + E n ) ⋅ d l
a a
n
∞
a
r r ∞ r r r ∞ r E1 ⋅ d l + ∫ E 2 ⋅ d l + L + ∫ E n ⋅ d l
i =1
10
= V1 + V2 + L + Vn = ∑ Vi
A = q0 ∫
b
a
r r E ⋅ d l = q0Vab
移动电荷q 移动电荷 0时电场力的功等于电势差与电荷电量的乘 积。 11
注意： 、电势差与电势不同，电势差具有绝对意义， 注意：1、电势差与电势不同，电势差具有绝对意义，它的数 值与电势0点的选择无关 点的选择无关。 值与电势 点的选择无关。 2、对于无限分布的带电体，不能取无穷远点为电势的 、对于无限分布的带电体， 0点。这时只有电势差有意义。 点 这时只有电势差有意义。 3、实际工作中常以仪器设备的外壳、大地作为电势 点。 、实际工作中常以仪器设备的外壳、大地作为电势0点 这时内部的电压就是对外壳或大地的电压。 这时内部的电压就是对外壳或大地的电压。
q
R
dq
r
dV =
dq 4πε 0 r
o
1
x
dV
x
环上各点到轴线等距。 环上各点到轴线等距。
V =∫
q dV = ∫ dq = 2 2 1/ 2 4πε 0r 4πε 0 ( x + R )
q 0
16
例3：均匀带电圆盘，半径为 R，带电为 q，求圆盘轴 ：均匀带电圆盘， ， ， 线上一点的电势 V。 。 解：将圆盘分割成无限多 个同心圆环， 个同心圆环，
4πε 0 ( x + y )
2
σ 2πydy
2 1/ 2
讨论： 讨论：当 x >> R 时，级数展开 2 R 2 2 x +R ≈x+ +L 2x 2 2 σ R = σπR = q V= 2ε 0 2 x 4πε 0 x 4πε 0 x 带电体距场点很远时，可视为点电荷。 带电体距场点很远时，可视为点电荷。
由于
r r F = q0 E
b a
r E
Aab = q0 ∫
r r b E ⋅ d l = q0 ∫a Edl cosθ
2
由图中可见： 由图中可见：dl cosθ=dr
Aab = q0 ∫ Edr
a
b
b
rb
点电荷的场
Aab = q0 ∫
rb
ra
q dr 2 4πε 0 r 1
q
dl q0 ra a
五、电势的计算方法
电势定义 1.点电荷系 点电荷系
A W V= = q0 q0
V = ∑ Vi
i =1 n
=∑
n
i =1
4πε 0ri
12
qi
2.积分法 —— 电荷连续分布的带电体 积分法 将带电体分割成无限多个电荷元， 将带电体分割成无限多个电荷元，利用积分法求解电 势。 dq dV = 4πε 0 r dV
V1 = ∫
R
r
r r ∞r r E1 ⋅ d l + ∫ E 2 ⋅ d l
R
q o r
E R r r
Q dl // dr // E 高斯面 q q ∞ 1 dr = = ∫R 2 4πε 0 r 4πε 0 R
22
= 0 + ∫ E2dr
∞ R
•II区：球壳外电势 区
r>R
II I
选无穷远为电势 0 点， r ∞ r V2 = ∫ E 2 ⋅ d l
∫
b
a
r r E ⋅ dl
点为电势能0点 令b点为电势能 点，引入 点为电势能 电势定义为： 电势定义为： 单位：伏特，V 单位：伏特， 点电 荷的电势 注意： 注意：
V=
WP V= = q0
WP q0
0势能点
r r ∫ E •d l
r
qq0 = 4πε 0rq0
=
q 4πε 0r
1、电势是描述静电场又一种方法。电势的计算与试验电荷q0 、电势是描述静电场又一种方法。电势的计算与试验电荷 无关，它的大小等于将单位正电荷从r移到势能 移到势能0点时电场力所 无关，它的大小等于将单位正电荷从 移到势能 点时电场力所 作的功。 作的功。 2、电势是标量，只有正负之分（但无方向）。 、电势是标量，只有正负之分（但无方向）。
r
V =∫
V体
dV
= ∫V
dq 4πε 0r
dq
P
体
V体
注意：叠加原理适用于取 点为电势 点为电势0点的情 注意：叠加原理适用于取∞点为电势 点的情 况。 13