a11 a12 a13
a11 a21 a31
定义：记 D a21 a22 a23 ， DT a12 a22 a32
a31 a32 a33
a13 a23 a33
即交换 D 的第 i 行与第 i 列，称行列式 DT 为的 D
的转置行列式。
性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
注：性质 1 表明行列式中行与列具有同等的地位，
a11 a12 a13
例如， D a21 a22 a23 的元素 a32 的余子式和代数余
a31 a32 a33
子式分别为
M 32
a11 a21
a13 a23
2021/2/11
A32
(1)32
a11 a21
a13 a23
M 32
• 定理(行列式按行(列)展开定理) ： 行列式D等于它的任一行(列)各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12
x1
b2 a11
a22 ＝ D1 ,
a12
D
a21 a22
a11 b1
x2
a21 a11
b2 a12
D2 D
a21 a22
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
b2a11 a11a22
a21b1 a12a21
2021/2/11
行列式概念
• 问题：求解二元一次方程组
aa1211xx11 aa1222xx22bb12,,
(1) (2)
用消元法得 a1a122 a1a 221 0
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
x2
b2a11a21b1 a11a22a12a21
2021/2/11
用一个简单符号表示运算 a11a22 a12 a21 ，
－2 5 －1 例2 求D 1 9 13
3 1 5
2021/2/11
克莱姆法则
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
2021/2/11
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆： 主对角线上元素的乘积 - 次对角线上元素的乘积。
a11 a12＝a a －a a
a a 21 22
11 22 2112
2021/2/11
求解二元一次方程组－－－ 用二阶行列式建立的克莱姆法则：
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in ( i 1 , 2 , , n )
D a 1 jA 1 j a 2 jA 2 j a n A n j j( j 1 ,2 , ,n )
推论 行列式某行(列)元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式乘积之和等于0，即
也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成
立，反之亦然。
2021/2/11
• 性质2 对调行列式的任意两行（列），所得的行列 式的绝对值不变，但符号相反。
• 推论 若行列式中有两行（列）元素完全相同，则 行列式为零。
性质3 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号 的外面。 推论 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列 式为零 。
2021/2/11
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一 个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内 容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述， 不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变 量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵 的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具， 并推动了线性代数的发展。
就是数学上二阶行列式的概念：称表达式 a11a22 a12 a21
a11 a12
a11 a12
是由数表 a21 a22 确定的二阶行列式，记为 a21 a22 ，
a11 a12
即 a11a22 a12 a21 = a21 a22 .
其中称数 aij 为行列式的元素，元素 aij 的第一个下标 i
性质4 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式 可拆成两个行列式的和。
性质5 行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍，则行列式的值不变。
2021/2/11
行列式的计算
在行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去
后，由留下的元素组成的行列式叫做元素 aij 的余子 式，记作 M ij ，并称 (1)i j M ij 为元素 aij 的代数余子式， 记为 。 Aij (1)i j Mij
注 也可以类似地给出三元一次方程组的克拉姆法则。 三阶行列式的计算也可用对角线法来定义：三个主对
角线上元素的乘积的和 - 三个次对角线上元素的乘积的和。
2021/2/11
例
1 2 4 D2 2 112(2)21(3)(2)42
3 4 2 (4)2(3)1142(2)(2)14
2021/2/11
行列式的性质
线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、
标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。
2021/2/11
行列式
历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家 莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的 用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的 理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对 行列式做出连贯的逻辑阐述，法国数学家柯西于1841年 首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词 的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列 式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉 格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。
2021/2/11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 完全类似地，我们称由含 32 个数的数表 a31 a32 a33 确定的三阶行列式为
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a i1 A j1 a i2A j2 a in A jn na ik A jk 0(i j) k 1 n a 1 iA 1j a 2 iA 2j a nA in j a kA ik j0(i j) k 1
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1 01 例1 求D 1 1 4
1 1 2
注：以元素中0最多的行或列展开