专题八、矩阵与行列式1.矩阵：n m ⨯个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1,ΛΛ==排成m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n m n n a a a a a a a a a A ΛMM ΛΛ212221211211叫做矩阵。

记作n m A ⨯，n m ⨯叫做矩阵的维数。

矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。

2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。

⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换： ①互换矩阵的两行；②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。

变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。

4.矩阵运算：加法、减法及乘法（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A -B ）.运算律：加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ）（2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：αA.运算律：分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(； 结合律：()()()A A A γλλγγλ==；（3）矩阵的乘积：设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵。

如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C m ×n =A m ×k B k ×n .运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(； 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB =； 注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BA AB ≠。

5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）:当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a21b b 表示算式1221b a b a -，即21a a21b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。

记=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则：①当=D 21a a21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x. ②当D =0时，0x y D D ==，方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0,0x y D or D ≠≠，方程组（*）无解。

系数行列式1122a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。

6.三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开：②按某一行(或列)展开法：333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a +13a 32312221a a a a记322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=，312112a a M =3323a a ，=12A 1221)1(M +-，312113a a M =3222a a ，133113)1(M A +-=，称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。

则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++，这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。

上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。

类似地，若将D 按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。

（2）三阶行列式的性质：①行、列依次对调，行列式的值不变，即②两行(或两列)对调，行列式的值变号，如③某行(或列)所有元素乘以数k ，所得行列式的值等于原行列式值的k 倍，如④某两行(或两列)的元素对应成比例，行列式的值为零。

⑤某行(或列)的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和，如⑥某行(或列)的所有元素乘以同一个数，加到另行(或列)的对应元素上，行列式的值不变，如性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。

7.用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ∆三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，则，所以、、三点共线的充分必要条件为. 8.三元一次方程组的解法：设三元一次方程组 (﹡)，其中z y x ,,是未知数，)3,2,1(=i c b a i i i 、、、是未知数的系数，且不全为零，)3,2,1(=i d i 是常数项。

下面用加减消元法解方程组(﹡)：我们把方程组(﹡)的系数行列式记为=D ，用D 的元素321a a a 、、的代数余子式321A A A 、、依次乘以方程组(﹡)的各方程，得11111111A d z A c y A b x A a =++22222222A d z A c y A b x A a =++， 33333333A d z A c y A b x A a =++将这三个式子相加，得：332211332211332211332211)()()(A d A d A d z A c A c A c y A b A b A b x A a A a x A a ++=++++++++①其中①式中x 的系数恰为(﹡)的系数行列式D 。

由于z y 与的系数分别是D 的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此z y与的系数①都为零。

11223311121ABCx y S x y x y ∆=A B C 1122331101x y x y x y =⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 111222333a b c a b c a b c①式的常数项可表示为 111222333x d b c D d b c d b c =，于是①式可化简为D٠x=D x 。

类似地，用D 的元素1b 、2b 、3b 的代数余子式1B 、2B 、3B 依次乘以方程组（*）的各方程，可推得D٠y=D y ；用D 的元素1c 、2c 、3c 的代数余子式1C 、2C 、3C 依次乘以方程组（*）的各方程，可推D٠z=D z ，其中111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b a a b d = 由方程组xy z D x D D y D D z D⋅=⎧⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩，可见， 对于三元一次方程组（*），其系数行列式为D ，则：（i ）当0D ≠时，方程组（*）有唯一解x y z D x D D y D D z D⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.（ii ）当D =0，0≠z y x D D D 时，方程组（*）无解；（iii ）当D =0，0===z y x D D D 时，方程组（*）有无穷多解。

例1.已知1223,2131A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AB = ；BA =例2.若三阶行列式按第二行展开为ac cb ba cb ba ac ++，求该三阶行列式。

例3.求关于x 、y 、z 的方程组21mx y z x my z m x y mz m ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解的条件，并把在这个条件下的解求出来。

变式训练：（1）若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212332c c ，解为⎩⎨⎧==12y x ，则c 1–c 2=（2）若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为____________（3）已知,0,>t ω函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 （4）把22111133332224x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式________________（5）若ABC ∆的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----，其面积为_____（6）若,,a b c 表示ABC ∆的三边长，且满足0222=++++++cb ac cc b a b bcb a a a ，则ABC ∆是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 （7）若复数满足,则的值为_________________________（8）设△的内角,,所对的边长分别为,,， 若30a b c a ba b c++=+-，则角_______z 014=-zz z ABC A B C a b c C =（9）若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m +(其中i 是虚数单位，R m n ∈、)的值是（10）已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=L L （11）已知1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义1A A =，1n n A A A -=.（I ）求23,A A 的值； （II ）求(2,)n A n n N *≥∈.（12）已知行列式：367861254-，计算该行列式第一行的各元素与第三行对应元素的代数余子式的乘积，即计算131313a A b B c C ++的值为________________。