格式经济数学期末考试试卷（ A 卷）一、填空题（满分15 分，每小题3 分）1.设1 2的定义域为 .f(x)1x1lnx22.当x0 时，若ln(1ax)与 xsinx 是等价无穷小量，则常数 a．3.设f(x)A ，则lim f ( x )f( x 2h).000 h0h4.设f(x)在(,)上的一个原函数为sin2x ，则 f(x).5.设f(x) 为连续函数，且1f(x)x2f(t)dt ，则 f(x) ．二、选择题：（满分15 分，每小题 3 分）sin xx0x6．设 fx ，则在 x0 处， f(x) （）1x0（A）．连续（ B）．左、右极限存在但不相等（C）．极限存在但不连续（ D）．左、右极限不存在27.设f(x) xx ，则函数 f(x) （）sinx（ A）有无穷多个第一类间断点；（B）只有 1 个可去间断点；（ C）有 2 个跳跃间断点；（D）有 3 个可去间断点．8．若点 (1,4) 是曲线23yaxbx 的拐点，则 ()（A） a6,b2 ；（ B） a2,b6 ；（ C） ab1 ；（ D） ab2．9.下列各式中正确的是（）b（A）．(f(x)dx)f(x)（B）．df(x)f(x)dxax（ C）．d(f(x)dx)f(x)（D）．(f(t)dt)f(t)a10．某种产品的市场需求规律为Q8005p，则价格p120 时的需求弹性d（）（ A）．4（ B）．3（ C）．4%（ D）．3%三、计算题（每小题 5 分，共 20 分）:11．求极限：x1lim()x11xlnx专业资料整理格式xa，求常数 a 的值 .x12．设 lim()8xxa13．设 sinxyx ，求 dy| xx2cost2 14．设 ，求dyy3sint2 dx四、计算题（ 10 分）sinx,x015．设 f(x)．axb,x0（ 1）确定常数 a,b 的值，使 f(x)在x0处可导；（ 2）求 f(x) ；（ 3）问 f(x) 在 x0 处是否连续．五、计算题（满分 10 分）16．求不定积分： 1xdx1e17．求广义积分：l nx dx2 1x六、应用题（满分 20 分）18．过原点作曲线 ylnx 的切线，求该切线与曲线ylnx 及 x 轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积。
19．设生产某产品的固定成本为10 万元，产量为 x 吨时的边际收入函数为 R(x)10x32 ，2边际成本为C(x)4020x3x。
求（ 1）总利润函数；（2）产量为多少时，总利润最大？七、（满分 10 分，每小题 5 分）证明题 :1 xa f(t)dt,axbF(x)xa20．设 f(x) 在 [a,b] 上连续且单调递增，证明在区间f(a),xa[a,b] 上也单调递增 .21．设 f(x) 在[0,] 上可导， ()0 ，使得2 f ，证明存在 (0,)22专业资料整理WORD格式f()tanf()0专业资料整理格式答案及评分标准11一、 1.(0,e)(e,)；2.1；3.2 A；4.4sin2x；5.x1．二、 6．（B）；7. （ D）；8．（A）；9. （ B）；10．（B）．专业资料整理格式三、 11．【解】x1xlnx1x . ....................... （2分）lim()limx1x11xlnx(1x)lnx1. ........... （ 5 lnx11x1 分）limlim1112xx1x1lnx2xxx2axxa2ax12．【解】因为xa2alimxaxa xa2aee............ （3分）2lim()lim(1) xxaxaxx3故28aln2............................................ （5分）ae，因此 2sinxlnxsinxlnx13．【解】因dyd(e)ed(sinxlnx)............................... （ 2分）sinxlnxsinx . .................... （ 4 分）e(cosxlnx)dxxsinlnsin所以dy| x e(cosln)dxlndx........................ （5分）14．【解】 dyy(t)3cost3 cot t .................................... （2分）dxx(t)2sint2223 t . ........... （5分）(2cott)3csc3dyddyt3()csc2dxdxdxx(t)22sint422dy9x【另解】函数的隐函数方程为xy 1 ，两边对 x 求导，得（2 分）............49 dx4 y9x . ........... （5分）dyyx()yx2dyddydxy99481()2223dxdxdx4y4y4y四、 15．【解】（1）由 f(x)在x0处可导，知f(x)在x0处连续且f(0)存在，因此f(0)limf(x) ， f(0)f(0)x0专业资料整理WORD格式因limf(x)limf(x)lim(axb)b ，f(0)sin00 ，故 b0 x0x0x0又f(x)f(0)ax，f(x)f(0)sinx f(0)limlimaf(0)limlim1xx xx x0x0 x0x0故 a1 ，f(0)f(0)f(0)1 ，且专业资料整理格式sinx,x0f(x)x,x0....................................（4分）（ 2）当 x0 时， f(x)(sinx)cosx；当x0时，f(x)(x)1因此，f(x)cosx,x0 。
...........................................（7分）1,x0（ 3）因为limf(x)limcosx1 ，limf(x)lim11 ，f(0)1x0x0x0x0所以，l imf(x)f(0)，即f(x)在x0 处是否连续． .....................（10分）x0x. ............（5分）五、 16．【解】1e1xxdxdxd(1e)ln(1e)Cxxx1e1e1e . ...........（ 317．lnx1lnx11分）dxlnxd()|()dx21 111xxxxx1lnx1x1lim|lim()(lim1)1............（5分）1xxxxx1x六、 18．【解】设切点为 ( x ,lnx) ，则由1 得切线的斜率为1y，切线方程00 xk x 为1 （ 1）ylnx(xx)00x因切线过原点，将x0， y0 代入（ 1）式，解得x0 e ，故切点为 (e,1) ，切线方程为1即1ylne(xe) yxe ............ （4分）e该切线与曲线ylnx及x轴所围成的平面图形的面积为1eeeeAe1lnxdxx(lnx1)|1............（7分）12221专业资料整理WORD格式所求旋转体的体积为1eee222eV1elnxdxx(lnx2lnx2)|2(1)...... （10分）1 333119．【解】由题设。
有xx2 23C(x)C(0)C(t)dt10(4020t3t)dt 1040x10xx00专业资料整理格式xx2R(x)R(0)R(t)dt0(10t32)dt5x32x00（ 1）总利润函数为223L(x)R(x)C(x)(5x32x)(1040x10xx)231072x15xx22（2）L(x)R(x)C(x)(10x32)(4020x3x)3x30x72L(x)6x 30令 L(x)0 ，得 x12（x2 不合题意，舍去）， L(12)61230420 ，故当产量为 12 吨时，总利润最大。
xf(t)dta七、 20．【证明】因为f(x)在[a,b]上连续，所以F(x) 在 (a,b]上连续，又xaxf(t)dtf(x)alimF(x)limlimf(a)F(a)xa1xaxaxa故 F(x) 在 [a,b]上连续。
.....................（2分）当 axb 时，由 f(x)在[a,b]上单调递增，知xxxf(t)dt(xa)f(x)f(t)dt[f(x)f(t)]dtaaaF(x)[]022xa(xa)( x a)因此 F(x) 在区间 [a,b]上也单调递增......................（5分）21．【证明】令 F(x)sinxf(x)，[0,] 上连续，x，则 F(x) 在 [0,] 且22F(x)cosxf(x)sinxf(x) ，x(0,)............... （2 分）2又 F(0)sin0f(0)0()sin()0 ，使得Ff ，故由 Rolle 定理知，存在 (0,)2222F()cosf()sinf()0两边同除以cos ，得专业资料整理WORD格式f()tanf()0..................... （5 分）专业资料整理格式专业资料整理格式庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。
”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。
人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。
我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。
但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。
生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。
就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。
只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。
雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。
一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。
前行的路上，有风也有雨。
有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。
我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。
所以，生活再累，不能后退。
即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。
人生是一场跋涉，也是一场选择。
我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。
如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。
如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。
选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。