理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

4.设)(x f 在]1 , 0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，,1)21(=f试证：（1）至少存在一点),1,21(∈η使得η=η)(f ；（2）对任意实数λ，必存在), , 0(η∈ξ 使得 ].)([1)(ξ-ξλ=-ξ'f f证明：（1）设xx f x F -=)()(，则],1,21[)(∈x F 又1)1(,21)21(-==F F ，所以0)1()21(<⋅F F 由零点定理知：,0)(),1,21(=η∈η∃F 使得即.)(η=ηf（2）构造辅助函数：])([)(x x f e x G x-=λ-则),0()(],,0[)(η∈η∈D x G C x G又0)(,0)0(=η=G G所以将上应用罗尔定理，有，在]0[)(ηx G 存在），（η∈ξ0使得0)(=ξ'G .0]}1)([])([{)(=-ξ'+ξ-ξλ-=ξ'λξ-f f e G又 ,0≠λξ-e得0]1)([])([=-ξ'+ξ-ξλ-f f 即 1)(])([-ξ'=ξ-ξλf f 结论成立。

5.求证：对任意实数x ，22arctan ln(1).x x x ≥+、 证明：设)1ln(arctan 2)(2x x x f +-=，则0)0(=fx x f arctan 2)(=',当0>x 时，有,0)(>'x f )(x f 在),0(+∞严格单增，有0)(>x f ，当0<x 时，有,0)(<'x f )(x f 在)0,(-∞严格单减，有0)(>x f ， 所以对任意实数x ，0)(≥x f ，结论成立。

（后半部分也可利用偶函数的性质证明）.6.(1) 设n 为正整数，试利用拉格朗日中值定理证明不等式：111ln(1);1n n n<+<+ (2) 利用(1)的结果证明数列111(1)ln 23n x n n=++++-收敛. 证明：（1）设,ln )(x x f =对于正整数n ，显然有)(x f 在区间]1,[+n n 上满足拉氏 中值定理，所以至少存在一点)1,(+∈ξn n ，使得)(1)()1(ξ'=-+f n f n f即ξ=-+=+1ln )1ln()11ln(n n n 又nn 1111<ξ<+,从而n n n 1)11ln(11<+<+ 成立。

（2）n nn n x x n n ln )1211()1ln()11211(1++++-+-++++=-+ .0)11ln(11<+-+=n n所以数列为单调递减数列。

又nn n n x xn n 111)11ln(111-+>+-+=-+112111)()()(x x x x x x x x n n n n n +-++-+-=-++1)121()111()111(+-++--+-+> n n n n 011>+=n 所以此数列有下界，由单调有界准则知此数列收敛。

7.设()f x 在[]0,1上二阶可导,且()()01f f =.求证在()0,1内至少存在一点ξ,使得()()20f f ξξξ'''+=证明: 作辅助函数()2()F x x f x '=, 由()f x 在[]0,1上二阶可导,知()F x 在[]0,1上可导,从而()F x 在[]0,1上连续.又()f x 在[]0,1上满足Rolle 定理的条件，从而由Rolle 定理知：()0,1η∃∈，使得()0f η'=。

又(0)0F =，()2()0F f ηηη'==这样，()F x 在[]0,η上满足Rolle 定理的条件，由Rolle 定理，有()()()0,0,1,0F ξηξ'∃∈⊂=使得又()()()22F x xf x x f x ''''=+()()()220F f f ξξξξξ''''∴=+=∴()()20f f ξξξ'''+=,结论得证.8.已知()f x 在[0,1]上连续，且在()0,1内可导，且()0f =0，()1f =1。

求证 （1） 存在()0,1ξ∈ 使得()12f ξ=。

（2） 存在两个不同的点(),0,1ηλ∈，使得()()112f f ηλ+='' 证明：（1）()()()1,00,11,02f x C f f ∈[0,1]==<<1且又，故由连续函数介值定理知()()10,1,.2f ξξ∃∈=使（2）对()f x 在区间ξ[0,]，ξ[,1]上分别应用拉格朗日中值定理，得()()0,,,,ηξλξηλ∃∈∈,1≠，使()()()()()()()1101011122.21121f f f f f f ξξηλξξξξξξ----''======---()()1122(1) 2.f f ξξηλ∴+=+-='' 9. 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(,0)(<''>'x f x f ，证明在),(b a 内， 方程xb a f x f x f --=')()()(有惟一的实根.证明：（1）根的存在性：设xa f x bf x xf x F )()()()(--=，则],,[)(b a C x F ∈),,()(b a D x F ∈又)()()(b F a bf a F =-=，由罗尔定理知：,0)(),,(=ξ'∈ξF b a 使得至少存在一点即方程0)(='x F 至少有一个根，而)()()()()(a f x f b x f x x f x F -'-'+='xb a f x f x f x F --='=')()()(0)(，变形即为方程.)()()(至少有一个根所以方程x b a f x f x f --='（2）根的惟一性：)()()()()(a f x f x f b x x F -+'-=')()()(2)(x f b x x f x F ''-+'='' ),((b a x ∈∀.0)(,0,0)(,0)(>''<-<''>'x F b x x f x f 可知，由已知条件，有惟一零点。

严格单增，)()(x F x F ''∴.)()()(有惟一一个根所以方程xb a f x f x f --='10.证明arcsin arccos (11).2x x x π+=-≤≤证：设()arcsin arccos f x x x =+， [1,1]x ∈- 则在(1,1)-上()(0f x '=+=(),(1,1)f x C x ∴≡∈- (0)arcsin 0arccos0022f ππ=+=+=又即 .2C π=又(1),2f π±=()arcsin arccos 2f x x x π=+=[1,1]x ∈-11.证明当0,ln(1).1xx x x x><+<+时 证：设()ln(1)f x x =+， ()f x 在[]0x ，上满足拉氏定理条件，()(0)()(0),(0)f x f f x x ξξ'∴-=-<<1(0)0,(),1f f x x'==+ 由上式得ln(1)1x x ξ+=+，又0x ξ<< 111x ξ∴<+<+ 11111x ξ∴<<++ ,11x x x x ξ∴<<++ 即 ln(1)1xx x x<+<+ 12. 0,ln b a b b a b a b a a -->><<设证明： 证：将待证不等式整理为1ln ln 1,b a b b a a-<<- 设函数()ln ,f x x =，则()[,]f x a b 在上满足拉格朗日定理的条件，于是存在(,)a b ξ∈，使得ln ln 1()b a f b a ξξ-'==-由于(,)a b ξ∈，故111.b a ξ<<所以1ln ln 1b a b b a a -<<-，即ln .b a b b ab a a--<<13.证明：不等式2sin 1(01)2xx e x x -+<+<<成立证:设函数2()sin (1),[0,1].2xx f x e x x -=+-+∈则有()cos x f x e x x -'=-+-，()f x '的正负难以确定，继续求导得()sin 1x f x e x -''=--。