题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理 1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则一些类型（00、∞∞、∞•0、∞-∞、0∞、00、∞1等）三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点五．函数的渐近线水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I 方程根的证明题型II 不等式（或等式）的证明题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题 二．选择题 三．解答题4月13日微分中值定理与导数应用练习题基础题：一．填空题1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。

3．1)(2-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。

4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。

5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→xxx 3cos 5cos lim2π35-8.=++∞→xx x arctan )11ln(lim9.)tan 11(lim 20x x x x -→=3110.0lim(sin )xx x +→=1 二． 选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件２．下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）．A.x e x f =)( B.||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ３．若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A ． ==∞→∞→n nnn n en ln limlim11lim=∞→n n eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ． x nx e x +∞→lim综合题：三．证明题1．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。

2．验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[]1,0上的正确性。

3．试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时的求得的点ξ总是位于区间的正中间。

3.证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．4．证明下列不得等式：⑴y x y x -≤-arctan arctan ⑵当x e e x x⋅>>时，1(3)当b b a b a a b a b a -<<->>ln 0时， （4）当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+(5)当π<<x 0时，x xxcos sin >．四．计算题10．用洛必达法则求下列极限：⑴()xx x +→1ln lim 0 ⑵x e e x x x sin lim 0-→-⑶a x a x a x --→sin sin lim ⑷xx x 1arctan11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→⑸xx x-→111lim ⑹)1(cot lim 0xx x -→⑺xx x 10)(cos lim → ⑻)1(lim 2x x x x -+⋅+∞→⑼x x x x x x sin cos sin lim 20-→ ⑽⎪⎭⎫ ⎝⎛--→121lim 20x x e x⑾()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→2tan 1lim 1x x x π ⑿xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→4月14日微分中值定理与导数应用练习题基础题： 一．填空题 1.函数xx x y 6941023+-=，则该函数的单调增区间区间是_________________ 2.函数()21ln x x y ++=，则该函数的单调减区间是____________________ 3.函数53523++-=x x x y ，则该函数的拐点是____________________4.函数xxey -=，则该函数的凹区间是________________________5.函数()7ln 124-=x x y 的拐点是_______________________6. 点()3,1为曲线23bx ax y +=的拐点,则a=_________,b=___________7.函数()221xx x f += ，其极大值为_____________,极小值为___________ 8.函数x x y -+=1，在区间[-5,1]上的最大值为__________,最小值为___________ 9.函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是 ，单调减少区间 ．10.若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 ．11.函数xx y 2=取极小值的点是 ．12.函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为 ，最小值为 ． 二．选择题 １下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π ２设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ ）．A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的３)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( )A. 任意0)(,>'x f xB. 任意0)(,≤-'x f xC. )(x f -单调增D. )(x f --单调增４设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ ）A. )0()1()0()1(f f f f ->'>'B. )0()0()1()1(f f f f '>->'C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-D. )0()1()0()1(f f f f '>->'5.设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ．)(x f ''不为零6.已知)(x f 对任意)(x f y =满足xe xf x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C.))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点 7.若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值 综合题：三．求下列函数的单点区间（1）()21ln x x y ++= （２）(2y x =- 四．求下列函数的极值（1）x x y tan += （2）()3/223x x x f -= 五．求下列函数的最值（1）x x y -+=1，15≤≤-x （2）14123223+-+=x x x y ，]4,3[-六．求函数图形的凹或凸区间及拐点 （1）xey arctan = （2）12-+=x xx y 七．证明题（1）利用函数的单调性，证明：当0>x 时，()2211ln 1x x x x +>+++ （2）利用函数的凹凸性，证明不等式()y x e e e y x yx ≠>++22八．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．九．工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？4月15日微分中值定理与导数的应用练习题一、选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有（ ） A 、y = x 2–7x +10 [2,5] B 、y =321-x [0,2]C 、y = x 2x e- [0,1] D 、y =⎩⎨⎧=≤-+11112x x x2、下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的有（ ） A 、21x x y+=[－1,1] B 、x xy = [－1,1]C 、y = | x | [－2,2]D 、⎩⎨⎧≤≤+≤-+=1010112x x x x y3、设f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，a < x 1 < x 2 < b ，则下式中不一定成立的是（ ） A 、f (b )－f (a ) =)(ξf '(b －a ) ξ∈(a ,b ) B 、f (b )－f (a ) =)(ξf '(b －a ) ξ∈(x 1,x 2) C 、f (x 2)－f (x 1) =)(ξf '( x 2－x 1) ξ∈(a ,b ) D 、f (x 2)－f (x 1) =)(ξf '( x 2－x 1) ξ∈(x 1,x 2)4、函数xx y4+=的单调减少区间为（ ） A 、(-∞,-2)∪(2,+∞) B 、(-2,2)C 、(-∞,0)∪(0,+∞)D 、(-2, 0)∪(0,2)5、设f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，且当x ∈(a ,b )时，有)(x f '>0,又知f (a ) <0，则（ ）A 、f (x )在[a ,b ]上单调增加，且f (b )>0B 、f (x )在[a ,b ]上单调增加，且f (b ) <0C 、f (x )在[a ,b ]上单调减少，且f (b )<0D 、f (x )在[a ,b ]上单调增加，f (b )的符号无法确定6、函数f (x )在x = x 0处取得极小值，则必有（ ） A 、)(0x f '=0 B 、)(0x f ''>0C 、)(0x f '=0，且)(0x f ''>0 D 、)(0x f '=0或)(0x f '不存在7、设函数f (x )在x = x 0处)(x f '=0，且0)(=''x f ，则f (x )在x = x 0点（ ）A 、一定有最大值B 、一定有极小值C 、不一定有极值D 、一定没有极值 8、点（1,2）是曲线y = ax 3 + bx 2的拐点，则（ ） A 、a =－1,b =3 B 、a =0,b =1 C 、a 为任意数, b =3 D 、a =－1,b 为任意数9、曲线xe y x +=1（ ）A 、有一个拐点B 、有二个拐点C 、有三个拐点D 、无拐点10、曲线23xxy -=的渐近线（ ）A 、无水平渐近线，也无斜渐近线B 、3=x为垂直渐近线，无水平渐近线C 、有水平渐近线，也有垂直渐近线D 、只有水平渐近线 11、曲线2211x x ee y ---+=( )A 、没有渐近线；B 、仅有水平渐近线C 、仅有铅直渐近线D 、既有水平渐近线又有铅直渐近线二、填空题1、曲线y = x 3－3x+1的拐点是2、要使点（1,3）是曲线y = ax 3 + bx 2的拐点，则a = ；b =3、曲线121224++-=x x x y 的凹区间为 ，凸区间为4、曲线f (x ) =113222+-+x x x 的斜渐近线为5、曲线)1(4)3(2--=x x y ，其垂直渐近线方程是 ，斜渐近线方程是6、函数f (x )= x 4－2x 2+5在[－2,2]的最小值为7、函数f (x )=－3x 4+6x 2－1在[－2,2]的最小值为8、函数f (x )=3132)1(2--x x 在[0,2]的最大值为 ，最小值为9、函数f (x )=11222++-x x x 在(－∞,+∞)的最大值为 ，最小值为10、函数f (x )=11+-x x 在[0,4]的最大值为 ，最小值为 三、计算题1、求下列极限（1）30sin lim xxx x -→（2）1cos 1lim 20--→x e x x（3） ⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x tgx x sin lim 0（4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛→x tg x x 53sin lim π（5）x ctg x x 2lim 2→（6）)1112(lim 21---→x x x（7）x e e xx x sin lim 0-→- （8）nn mm x a x a x --→1lim （9⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim （10）e e x x x x -+-→ln 1lim 20 （11）21)1ln(lim x e x x +++∞→ （12）x x x --→202)(cos lim ππ （13）ctgxx x ln lim 0+→ （14）)ln 1ln (lim 1x x x x -→ （15）⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x x x x sin cos lim 0 （16）x x x 10)sin 1(lim +→ （17）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→xb a x x x 0lim （18）x x x ln lim 20→ 2、求下列函数的增减区间（1）y = x 2+ x（2）y =31x 3-4x （3）y =2x 2 –ln x（4）y = arctg x –x （5）y =12-x（6）y = (x –2)2(2x +1)4 （7）y = xe –x （8）y =xx ln 2 3、求下列函数的极值点与极值（1）y =31x 3-4x（2）y =2x 2 –ln x （3）y = x –2sin x（4）y = ln (x 4–1) （5）y =23)23()1(--x x （6）y =22x x -（7）y =xx +12 （8）y = x +21x -4.求下列函数的渐近线 （1）求曲线121y x =+-的渐近线 （2）求曲线3223x y x x =+-的渐近 （3）求曲线2361(3)x y x =++的渐近线 （4）求曲线1)3)(2(2)(-+-=x x x x f 的渐近线 四、证明题：（1）验证罗尔定理对函数107423--+=x x x y 在区间[]2,1-上的正确性（2）验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性 （3）验证拉格朗日定理对函数arctgx y =在区间[]1,0上的正确性（4）证明：若a b ≤<0，则b b a b a a b a -≤≤-ln （5）证明：若20παβ<≤<，则αβαβαββα22cos cos -≤-≤-tg tg （6）证明：x x ≤sin五、应用题1、将已知正数a 分成两数之和使其乘积为最大；2、欲用长6米的木料加工成一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗框的面积最大；最大面积是多少？。