§7-3 平行移轴定理
平行移轴定理是指平面图形对于相互 平行轴的惯性矩及惯性积之间的关系。
C点的坐标为 （a，b）
已知Iy，Iz ，Iyz (y、z轴过截面形心C)，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1 zb, y1 ya
Iz1 y12dA (ya)2dA
A
A
y1 z1 y
z ．dA
．A
C
Ima x Iz Iy Imin 2
Iz
Iy 2
2
Iy2z
§ 7-4 转轴定理
二、小结
1.若截面图形有对称轴，则对称轴为形心主轴；
2.任意正多边形的形心轴都是形心主轴；
3.当截面图形有三根或三根以上的对称轴时，则图形的形心 轴均为形心主轴；
4.若已知图形对某一对主轴的惯性矩相等，则通过该点的任 意轴为主轴，其惯性矩相同。
zyd bAzdA aydA Aab
A
A
A
Iz1 Iz2azSA2a
即： Iy1 Iy2bSyA2b
1.过形心的惯性矩最小；
2. (a,b)表示C点的坐标， 惯性积没有上述结论。
Iy1z1IyzazS bySAa
例题 7-3-1 求图示截面图形的Iｚc。
§ 7-3 平行移轴定理
解： yC
Ai yCi 122 0 0131 022 0 06095(mm)
二、形心（C）
§ 7-1 静矩、形心
1.理论力学的质心
y
y yC O
dA
●
C
ydm
y
C
m
m
z C
zdm
m
m
2.材料力学的形心
zC z
ydA
y
C
A
A
z
z C
zdA
A
A
2.材料力学的形心
§ 7-1 静矩、形心
ydA
y
C
A
A
z C
zdA
A
A
3.静矩与形心的关系
Sy
§7-4 转轴定理
一、转轴公式
转轴定理是研究坐标轴系绕原点转动时，平面图形对于这
些坐标轴的惯性矩与惯性积之间的变化规律。
已知Iy，Iz ，Iyz ，(逆时针转为正) ，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1zco sysin
y
y1zsin yco s y1
z
Iz1 y12dA
A
(zsinycos)2dA
iz
Iz A
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
1. 单位：长度的四次方； 2.同一截面对于不同的坐标轴的惯性矩和惯性积一般不同； 3.惯性矩恒为正，而惯性积可正可负也可等于零；
4.若y、z轴有一个为对称轴，则Iyz恒等于零。
二、常见图形的惯性矩和极惯性矩 y,z为形心对称轴
1.矩形
hb 3 I y 12
zdA,
A
Sz
ydA
A
yC
Sz A
,
zC
Sy A
截面图形对于某一轴的静矩若为零， 则该轴必定经过截面的形心；截面图 形对于形心轴的静矩恒等于零。
y
y yC
dA
●
C
O
zC
z
z
三、组合图形的静矩与形心
静矩： Sy AizCi Sz AiyCi
形心： yC
Ai yCi Ai
zC
Ai zCi Ai
z
O1
b
z1
y2dA 2aydAA2 a
A
A
Iy1 z12dA (zb)2dA
A
A
z2dA 2bzdAA2b
A
A
a
y y1
§ 7-3 平行移轴定理
由于y、z轴通过图形的形 心，则Sy=Sz=0。
I y1z1 z1y1dA (zb)(yb)dA
A
A
Iz1 IzC Aa2 Iy1 IyC Ab2 Iz1y1 IzCyC Aab
第七章 平面图形的几何性质
§7-1 静矩、形心 §7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 §7-3 平行移轴定理 §7-4 转轴定理
§ 7-1 静矩、形心
§7-1 静矩、形心
一、静矩（S）
面积对轴的一次矩称为静矩或一次矩。
y
Sy
zdA
A
dA
●
Sz
ydA
A
y
O z
1.静矩的单位：长度的三次方;
z
2.静矩可正可负也可能为零。
Iz
bh 3 12
IP
bh（b2 12
h2）
b
b
2
2
C
y
h
2z
h 2
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
2.圆形 a)实心(d)
Ip
d4
32
Iy
Iz
d4
64
b)空心(D、d、 d ) D
Ip
D（ 4 14）
32
Iy
Iz
D（ 414）
64
C
z
y
三、组合图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积
Iy Iyi
dA
z1
y1
z1
y
A
A
sin2 z2dAco2s y2dA
O
z
A
A
2sincos yzdA
A
即：
§ 7-4 转轴定理
Iz1 Izco2 s Iysi2nIyzsin2
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
co2sIyzsin2
同理可得： Iy1 Izsi2nIyco2 s Iyzsin2
或：
Iz
Iy 2
Iz
§ 7-1 静矩、形心
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
§7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、定义
1.惯性矩： 面积对轴的二次矩称为惯性矩或二次矩。
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
IP Iy Iz
y
dA
2.极惯性矩
IP
2dA
A
y
3.惯性积
Iyz
yzdA
A
4.惯性半径
O z
z
iy
Iy A
Ip Ipi
Iyz Iyzi
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
例题7-2-1. 实心圆，直径为d，
求I ？ z上半圆
解：
Iy
Iz
d4
64
4
I z I zi i 1
Iz上半圆 Iz1Iz212d84
②①
C
z
④③
y
Iz右半圆 ？
答 ： Iz右半 I圆 z1Iz312d48
§ 7-3 平行移轴定理
§ 7-4 转轴定理
二、主惯性轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩
主(惯性)轴：对于该轴系的惯性积为零。 形心主轴：过形心的主惯性轴。 主惯性矩：相应主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性矩：相应形心主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性平面：形心主轴与杆轴线所组成的平面。
令： I y1z1 0
得：
tan20
2Iyz Iz Iy
Ai
122 0 0122 00
20
y
120
． C1
． C
②
． C2
①
zC
yC
z
20Biblioteka IzCIzC 1IzC2 IzC 1A 1 d 1 2IzC 2A 2d2 2 120 23 0120 20 32 5 12 2 0123 02 0123 025 12 884104(mm 4)
120
§ 7-4 转轴定理
Iy 2
co2sIyzs
in2
Iy1z1 Iz 2Iysi2nIyzco2sIzIyIz1Iy1
IIy z 1 1 z1 IIy y 1 1 z1 c sion c s so i n sIIy zzIIy y z c so in c sio n