排队论例题
1、某重要设施是由三道防线组成的防空系统。

第一道防线上配备两座武器；第二道防线上配备三座武器；第三道防线上配备一座武器。

所有的武器类型一样。

武器对来犯敌人的射击时间服从μ=1（架/分钟）的指数分布，敌机来犯服从λ=2（架/分钟）的泊松流。

试估计该防空系统的有效率。

解： 武器联合发挥作用
该防空系统有效率 = 1- (三道防线后的损失率)
三道防线均可看成M/M/1/1系统
第一道防线：λ=2架/分钟, μ=2架/分钟（两座武器）
ρ=λ/μ=1
.P )A (P ,P ,P ,P P P 1212111110001=======λλρ损
第二道防线 :
.P )A (P ,P ,P ,P P P ,)(.414
143313131122100011=========
===λλρμλρμλλ损损三座武器第三道防线: 975
.0,025.0.05.020
1)(,51,54,1,41,41,1.41
313310100012===========∴=+====
===总损失率该防空系统的有效率总损失率损损损-12
0.05λλλλρμλρμλλP A P P P P P P P P
2、某汽车加油站只有一个加油灌，汽车到达为泊松流，加油时间服从指数分布。

平均到达率和平均服务率分别为λ和μ。

已知汽车排队等待（不含服务时间）1小时的损失费为C元，加油站空闲1小时损失费为2C元。

试求使总的损失费（包括顾客排队等待的损失费和服务机构空闲时的损失费）最小的最优服务强度ρ（ρ=λ/μ）。

解：该排队系统为M/M/1系统
μλρ=
W q ==-）（λμμλρρ-12
P0 = 1-ρ=μλ
（空闲概率）
每小时空闲时间为1×P0= P0
总损失费为： ρρρ-+-=+=1)1(2220C C Cw Cp y q
对 ρ 求导 C C C C y 22
22)1(22)1()1(22ρρρρρρρ--+-=-+-+-=' ∴22±=ρ
又∵
ρ＜1 ∴22-=ρ
由于2阶导数 0)1()2)(1(2)1)(22(422>---+--=''ρρρρρρy ∴在22-=ρ时为0＜ρ＜1上取最小值
动态规划问题
1.某企业生产某种产品，每月月初按定货单发货，生产得 产品随时入库，由于空间限制，仓库最多能够贮存产品90000件。

在上半年（1至6月）其生产成本（万元/
6个月的生产量使既能满足各月的订单需求同时生产成本最低？
参考解答：
(1) 首先建模描述为动态规划问题
●阶段k：月份，k=1,2, (7)
●状态变量x k：第k个月初（发货以前）的库存量；
●决策变量d k：第k个月的生产量；
●状态转移方程：x k+1=x k-R k+d k；
●决策允许集合：D k(x k)={d k| d k≥0, R k+1≤x k+1≤90千件}
={d k | d k≥0, R k+1≤x k-R k+d k≤ 90千件}；
●阶段指标：v k(x k,d k)=C k d k；
●终端条件：f7(x7)=0, x7=40；
(2) 计算过程：
对于k = 6
因为x7 =40，x6 - r6 + d6 = x7 = 40
因此d6 = x7+r6-x6 = 40 +44 - x6 = 84 - x6
是唯一的决策，于是递推方程为：
f6(x6) = min { c6d6+f7(x7) }
d6=84 - x6
=2.5 d6=2.5 (84 - x6)=210 – 2.5x6
注意：由于d6 =84 - x6 ≥ 0，故x6 ≤ 84；
对于k = 5：d5∈D5(x5) ={d5| d5≥0, 111-x5≤d5≤(84+67)151 - x5} （x5 ≤ 90）f5(x5) = min { c5d5 + f6(x6) }
= min { 2.0d5+210 – 2.5 x6 }
= min { 2.0d5+210 – 2.5 (x5-67+d5) }
= min { -0.5d5 - 2.5 x5 + 377.5 } d5*= 151 - x5
= -0.5(151 - x5) – 2.5 x5+377.5
= 302 -2.0x5
对于k=4：d4∈D4(x4) = {d4| d4≥0, 99 - x4≤d4 ≤122 - x4 }
f4(x4) = min { c4d4+f5(x5) }
= min { 2.7d4 + 302 - 2.0x5 }
= min { 2.7d4 + 302 -2.0(x4-32+d4)}
= min { 0.7d4 – 2.0x4 + 366 } d4= 99 - x4 （x4 ≤ 90）
= 435.3 - 2.7x4
对于k=3：d3∈D3(x3) = {d3| d3≥0, 82-x3≤d3≤140 - x3 }
f3(x3) = min {c3d3+f4(x4)}
= min {2.3d3+435.3 – 2.7 (x3-50+d3)}
= min { -0.4d3 – 2.7x3 + 570.3 } d3*=140 - x3
= 514.3 - 2.3 x3
对于k=2：d2∈D2(x2) = {d2| d2≥0,113 - x2≤d2≤153 - x2}
f2(x2) = min { c2d2 + f3(x3) }
= min {2.8d2+514.3 - 2.3 (x2-63+d2)}
= min { 0.5d2 – 2.3x2 + 659.2 } d2* = 113-x2
= 715.7 – 2.8x2
对于k=1：d1∈D1(x1) = {d1|d1≥0,98 - x1≤d1≤125 - x1} = { d1| 58 ≤d1 ≤ 85 } f1(x1) = min {c1d1+f2(x2)}
= min { 2.1d1+715.7 – 2.8 (x1-35+d1)}
= min {-0.7d1 – 2.8x1+813.7} d1 = 85，x1=40
= 642.2
(3) 最优解：x1 = 40, d1 = 85, x2 = 90, d2 = 23, x3 = 50, d3 = 90;
x4 = 90, d4 = 9, x5 = 67, d5 = 84, x6 = 84, d6 = 0
2．有一种设备最长使用3年时间，现考虑它在3年的更新问题，在每年年初要作出决策是继续使用还是更新。

如果继续使用，已知每年需要支付的维修费用如
如果更新设备已知在各年年初购置改种设备的价格如下表所示（残值忽略不计）：
已知开始时设备已经使用了1年，问每年年初应怎样作出决策，才能使得3年内设备的购置和维修总费最少？
参考解答
（1）、首先建模描述为动态规划问题
● 阶段k ：年份，k =1,2,3,4；
● 状态变量x k ：设备的役龄t ；
● 决策变量d k ：⎩⎨⎧=继续使用更新K R d k
● 状态转移方程：⎩⎨⎧=+==+K d 1x R
d 1x k k k 1k
● 阶段指标：⎩
⎨⎧==+=K d )x (C R d )0(C )k (P v k k k k 记：维修费用C (0)=5，C (1)=6，C (2)=8，
购买价格P (1)=11，P (2)=12，P (3)=13
● 递推方程：⎩⎨⎧=++=++=++K d )1x (f )x (C R
d )1(f )0(C )k (P )x (f k k 1k k k 1k k k
● 终端条件：f 4(x 4)=0
(2) 求解过程：。