解析几何初步测试题及答案详解(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都有唯一对应的倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( )A ．－3B ．－6C ．－32D ．233．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )4．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－95．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．4x －3y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．4B ．13C ．15D ．177．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．248．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于y 轴对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝59．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝9C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝4D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝910．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝011．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．312．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．254二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影，则|OB |＝______．14．如果A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，则直线l 的方程是________________． 15．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．16．若x ∈R ，y 有意义且满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x ＋y ＋1＝0及3x －4＝0，其对角线的交点是D (3,3)，求另两边所在的直线的方程．18．(12分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)．求(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．19．(12分)已知一个圆和直线l ：x ＋2y －3＝0相切于点P (1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．20．(12分)设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．21．(12分) 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1,2)，B (4,0)，一条河所在的直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P ，使之到A ，B 两镇的管道最省，那么供水站P 应建在什么地方并说明理由．22．(12分)已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5． (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．答案详解1．D [α＝90°时，斜率不存在．∴选D ．]2．B [当两直线平行时有关系a 3＝2－1≠2－2，可求得a ＝－6．]3．C4．D [由k AB ＝k AC 得b ＝－9．]5．D [当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)代入得k ＝－43；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya＝1，将(3，－4)代入得a ＝－1．]6．D7．A [垂足(1，c)是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4×25＝－1，∴a＝10．l ：10x ＋4y －2＝0．将(1，c)代入，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2：得b ＝－12．则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]8．A [(x ，y)关于y 轴的对称点坐标(－x ，y)，则得(－x ＋2)2＋y 2＝5．]9．C [圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4．] 10．D [化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P(1,2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝12，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0．]11．A [将两方程联立消去y 后得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0．]12．D [因为点A(1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x＝0得y ＝52．令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254．]13．13解析 易知点B 坐标为(0,2,3)，故OB ＝13． 14．3x ＋y ＋4＝015．－23解析 设P(x,1)则Q(2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0．∴x＝－2，∴P (－2,1)，∴k l ＝－23．16．3解析 x 2＋y 2－4x ＋1＝0(y≥0)表示的图形是位于x 轴上方的半圆，而y x 的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为3．17．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，3x －y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－54，y ＝14，即平行四边形给定两邻边的顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14． 又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫294，234． ∵另两边所在直线分别与直线x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为－1及3，即它们的方程为y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294及y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，∴另外两边所在直线方程分别为x ＋y －13＝0和3x －y －16＝0．18．解 (1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－32，k AC ＝1．∴AB、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0， x －y ＋1＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B(7，－7)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0得C(－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC|＝117，A 点到BC 边的距离d ＝1513，∴S △ABC ＝12×d×|BC|＝12×1513×117＝452． 19．解 设圆心坐标为C(a ，b)，则圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝25． ∵点P(1,1)在圆上，∴(1－a)2＋(1－b)2＝25．又∵CP⊥l，∴b －1a －1＝2，即b －1＝2(a －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝2a －1，a －12＋b －12＝25，得⎩⎨⎧a ＝1＋5，b ＝1＋25，或⎩⎨⎧a ＝1－5，b ＝1－2 5.故所求圆的方程是(x －1－5)2＋(y －1－25)2＝25或(x －1＋5)2＋(y －1＋25)2＝25．20．解 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵圆上的点A(2,3)关于x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a ，b)在直线x ＋2y ＝0上，即a ＋2b ＝0． ① 圆被直线x －y ＋1＝0截得的弦长为22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＋(2)2＝r 2． ②由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r 2． ③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．21．解如图所示，过A 作直线l 的对称点A′，连接A′B 交l 于P ，若P′(异于P)在直线上， 则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|．因此，供水站只有在P 点处，才能取得最小值，设A′(a ，b)，则AA′的中点在l 上，且AA′⊥l，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A′(3,6)．所以直线A′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611．故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处． 22．解 (1)由题意，得|M 1M||M 2M|＝5．x －262＋y －12x －22＋y －12＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0．即(x －1)2＋(y －1)2＝25．∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25， 轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8， ∴l：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y －3＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52， 解得k ＝512．∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0．即5x －12y ＋46＝0．综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．。