矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：

A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,)

|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）

r(A)=r(B)

即的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-

二、矩阵相等、合同、相似的关系

（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：

设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L

1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关

组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）≅（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B

同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅;r()()A r B A B =⇒≅。

3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅L L

综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。

2、合同、相似、等价之间的递推关系

①相似⇒等价：~A B ⇒A,B 同型且()()r A r B A B =⇒≅

②合同⇒等价：,A B A B ⇒;同型且()()r A r B A B =⇒≅

③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若A,B 均为实对称矩阵，则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当

~A B 时，

||||E A E B λλ-=-⇒二次型()T f x X AX =与()T g x X BX =有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数A B A B ⇒⇒≅;

即有~A B A B A B ⇒⇒≅;

Ⅱ、存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A B ;则有1~T B P AP P AP A B -==⇒ 即有~A B A B ⇒;

Ⅲ、若A,B 实对称，且存在一个正交矩阵P ，则

~A B 时有 ~A B A B A B ⇔⇔≅;

Ⅳ、~()()A B r A r B ⇒=、()()A B r A r B ⇒=;、()()A B r A r B ≅⇒=

下面讨论()()r A r B =时~,,A B A B A B ≅;成立的条件。

由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知

存在正交矩阵P 时，有1T P P -=，则

()()T r P AP r A =记T B P AP =则()()r A r B =

此时~A B A B A B ⇒⇒≅;

即P 为正交矩阵时，由()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅;

（三）

1、矩阵等价：①同型矩阵而言

②一般与初等变换有关

③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的

本质是秩相等

2、矩阵相似：①针对方阵而言

②秩相等是必要条件

③本质是二者有相等的不变因子

3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵

②秩相等是必需条件

③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同

由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵

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